Il numero di Prandtl (abbreviato spesso con Pr) è un numero adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica per un fluido viscoso.
Il suo analogo per lo scambio materiale è il numero di Schmidt.
Definizione matematica
È definito come:
dove (relativamente al fluido in esame):
ν è la diffusività cinematica;
α è la diffusività termica;
μ è la viscosità dinamica (misurata in [Pa s] = [kg/(m s)] nel SI);
è il calore specifico a pressione costante (misurato in [J/(kg K)] = [m2/(K s2)] nel SI);
k è la conducibilità termica (misurata in [W/(m K)] = [kg m/(K s3)] nel SI).
Formulazione della definizione matematica
L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:
,
in cui (relativamente al corpo in esame):
è la derivata materiale temporale dell' entalpia specifica ( nel SI in [J/kg] = [m^2/s^3] )
è il flusso termico ( nel SI in [W/(m ^ 2)] = [Kg /(s^3)] )
τ : ∇u è la dissipazione ( nel SI in [W] )
τ è il tensore dello sforzo di taglio ( nel SI in [Pa] )
∇u è il gradiente della velocità di flusso ( nel SI in [s]^-1 )
Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando l'equazione dell'energia di Navier Stokes, ovvero quella per un fluido viscoso. Il corpo continuo che segue la legge di Stokes e la legge di Fourier :
,
in cui (relativamente al corpo in esame):
k è la conducibilità termica( nel SI in [W/m K] )
μ è la viscosità dinamica ( nel SI in [Pa s] )
T è la temperatura ( dimensionalmente [K] )
nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:
,
ovvero:
,
in cui (relativamente al fluido in esame):
α è la diffusività termica;
ν è la diffusività cinematica.
Adimensionalizzando ora e risulta che:
,
perciò:
,
ora è l'adimensionale cercato:
quindi l'equazione dell'energia di Navier Stokes diventa:
Interpretazione fisica
Valori tipici del numero di Prandtl sono:
circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;
tra 100 e 40.000 nel caso degli oli motore;
circa 0,015 per il mercurio.
circa 7 per l'acqua (a 20 °C).
Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, ha viscosità e conducibilità termica nulle[ senza fonte ], per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.