Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре (решена)
Гипотеза Римана
Решение уравнений
квантовой теории
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Уравнения Навье — Стокса

В математике это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любой размерности. В физике это система уравнений, которая в рамках механики сплошных сред описывает движение жидкостей или неразреженных газов.

Пусть  — трёхмерный вектор скорости жидкости,  — давление. Тогда уравнения Навье — Стокса записываются так:

где  — это кинематическая вязкость,  — плотность,  — внешняя сила,  — оператор набла и  — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как или . Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы, как

то для каждого значения получается соответствующее скалярное уравнение:

Неизвестными величинами являются скорость и давление . Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

Начальные условия

Начальные условия к уравнениям Навье—Стокса задаются в виде

,

где  — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности

Варианты постановки задачи

Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.

В трёхмерном пространстве

Пусть начальная скорость  — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса и любого , существует постоянная (зависящая только от и K), такая, что

для всех

Пусть внешняя сила  — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

для всех

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при . Требуется выполнение следующих условий:

  1. Существует постоянная такая, что для всех

Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.

Требуется доказать одно из двух утверждений:

(A) Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в . Положим . Для любого начального условия , удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости и поле давления , удовлетворяющее условиям 1 и 2.

(B) Несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в . Существует такое начальное условие и внешняя сила , такие, что не существует решений and удовлетворяющих условиям 1 и 2.

На трёхмерном торе

Попытки решения

10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждал, что дал полное решение проблемы, проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям. В 2014 году была найдена серьезная ошибка в доказательстве, которую признал автор.

В апреле 2016 года математик Шокир Довлатов из Каршинского государственного университета  (узб.) сообщил о решении шестой проблемы тысячелетия, которое опубликовал в arXiv.org.


Эта статья использует материал из статьи Wikipedia Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса, которая выпущена под Creative Commons Attribution-Share-Alike License 3.0.