In meccanica del continuo, la derivata materiale, anche detta derivata convettiva, derivata sostanziale, derivata di Eulero (o del pescatore) o derivata lagrangiana, descrive il tasso di variazione di una qualche quantità fisica associata ad un elemento di materia soggetto ad un campo vettoriale dipendente da spazio e tempo. Si tratta di una forma di derivazione simile alla derivata totale, e talvolta ne prende il nome. Ad esempio, il campo vettoriale può essere la velocità delle particelle di un fluido (velocità di flusso), e la quantità fisica considerata la sua temperatura.
La derivata materiale può essere vista come un collegamento tra la descrizioni euleriana e lagrangiana di una deformazione continua, e viene utilizzata spesso in fluidodinamica.
Questo tipo di derivazione descrive il trasporto di una quantità scalare o vettoriale con una velocità di deriva . La derivata materiale di un campo scalare è definita come:
dove è il gradiente di , e la derivata parziale è detta derivata euleriana (derivata del campo rispetto al tempo in una posizione fissata).
La derivata materiale di un campo vettoriale è data da:
dove è la derivata covariante di .
Il termine "derivata convettiva" è utilizzato sia per indicare la derivata materiale o , sia per indicare la derivazione o delle sole componenti spaziali.
L'effetto dei termini indipendenti dal tempo è detto talvolta avvezione per il caso scalare e convezione per il caso vettoriale.
La derivata totale rispetto a è invece espressa attraverso la regola della catena:
Il vettore:
descrive la velocità di un oggetto lungo un determinato cammino nello spazio. Se:
solo in questo caso la derivata totale coincide con la definizione di derivata materiale data sopra. Se inoltre (cioè la posizione è costante) la derivata totale temporale diventa la derivata parziale temporale nella posizione (stazionaria) .
In un sistema di coordinate ortogonali, la componente j-esima della convezione è data da:
in cui:
con il tensore metrico.