Розвиток нестабільності Релея - Тейлора.
Нестійкість Релея - Тейлора - виникає між двома контактуючими суцільними середовищами різної щільності, коли більш важка рідина штовхає більш легку. Прикладом такої нестійкості може служити нестійкість краплі води на поверхні олії - вода буде намагатися проникнути крізь олію.
Основним параметром, що визначає швидкість розвитку цієї нестабільності є число Атвуда.
Аналітичний опис
Задача про нестійкості Релея — Тейлора має аналітичне рішення в рамках лінійної теорії стійкості.
Нехай два протяжних плоских горизонтальних шару рідини розташовані в полі тяжіння
один над одним, причому більш важка рідина 1 знаходиться вгорі (на ілюстрації — синій колір), щільності рідин
. Верхня і нижня межі — тверді. Для простоти зручно користуватися моделлю нев'язкої нестисливої рідини, тоді система описується рівнянням Ейлера:


Надалі компоненти швидкості визначаються як
. Цілком очевидно, що рівноважне рішення (
) задовольняє моделі, при цьому з рівняння Ейлера для тиску виходить наступне:

Звідки визначається рівноважний розподіл тиску (відомий результат для тиску стовпа рідини):

Внесемо в рівноважний стан малі збурення. Нехай швидкість
настільки мала, що можна знехтувати нелінійним доданком
в рівнянні Ейлера, а тиск має вигляд
, де
. Тоді отримаємо лінійну систему рівнянь для малих збурень (далі штрих у тиску опущений):


Граничні умови задаються виходячи з міркувань рівності z-компонент швидкості рідин 1 і 2 на межі розділу і наявності поверхневого натягу. На верхній і нижній межах, тому що рідина ідеальна, працюють умови непротікання. Зручно прийняти координату кордону розділу в рівновазі за 0. На ній виконується кінематична умова

і динамічна умова

Умова непротікання верхньої і нижньої меж:

де
— величина відхилення кордону від незбуреної,
— коефіцієнт поверхневого натягу. Отримана завдання для збурень легко вирішується.
Припустимо, що збурення мають вигляд:

де
— швидкість росту (інкремент) обурення,
— компоненти хвильового вектора обурення кордону.
З рівняння Ейлера виражається
:

а умова
дає рівняння Лапласа для тиску. У результаті, швидкість течії із завдання вдається виключити. Залишається лінійне рівняння:

з граничними умовами:



Рішення рівняння Лапласа для тиску:


Константи
визначаються з кінематичного умови. Динамічне умова дає зв'язок між інкремент і модулем хвильового вектора

звідки безпосередньо випливає вираз для критичного хвильового числа збурень (при
):
.
Якщо довжина хвилі більша за критичну, то обурення кордону будуть наростати.
У граничному випадку нескінченно глибоких шарів (
) найбільша швидкість росту збурень досягається при хвильовому числі
.
У тонких шарах (
):
.
Література
- Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механіка двофазних систем. / / М.: Видавництво МЕІ, 2000. - С. 143-146.
- Векштейн Г.Є. Фізика суцільних середовищ в завдання. / / М.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. - С. 109-111.