Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy.

Operator używany w mechanice płynów.

Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:

lub w sktócie

W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:

różniczkowania cząstkowego względem czasu

Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:

Zapis klasyczny

Zapis indeksowy

Zapis absolutny

gdzie: prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość.

Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynu.

Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym, można wyrazić operator Stokesa przez:

Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynu:

Wyprowadzenie w analizie lokalnej

W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej w chwili znajdzie się w chwili w punkcie Z definicji pochodnej:

Oznaczając:

można zauważyć, że:

Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu otrzymuje się:

Stąd:

Wyprowadzenie alternatywne

Różniczka zupełna funkcji ma postać:

dzieląc przez możemy zapisać:

uwzględniając, że prędkość otrzymujemy:

Co można zapisać, używając operatorów:

W literaturze oznaczenia oraz używane są zamiennie.


W tym artykule użyto materiału z artykułu Wikipedii Operator Stokesa, który jest wydawany w ramach Creative Commons Attribution-Share-Alike License 3.0.