Darcy-Weisbachs ligning, eller Darcy-Weisbachs falltapsligning er en empirisk ligning som brukes til å beregne falltap, eller trykkfall, på grunn av friksjon langs en gitt lengde av et rør når det fører en væskestrøm. Ligningen forutsetter at gjennomsnittelig hastighet av væsken i røret er kjent. Ligningen er oppkalt etter Henry Darcy og Julius Weisbach.
Darcy-Weisbach ligningen inneholder en dimensjonsløs friksjonsfaktor, kjent som Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor. Den er også kalt Darcys friksjonsfaktor eller Moodys friksjonsfaktor. Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor er fire ganger større enn Fannings friksjonsfaktor, som den ikke må forveksles med.
Falltapet i et rør kan beregnes ved hjelp av formelen:
hvor:
Gitt at trykktap hf uttrykker trykkettap, Δp, som høyden av en søyle av fluidet, dermed kan ligningen uttrykkes slik:
der ρ er tettheten av væsken, og de andre faktorene som definert over. Dermed kan Darcy-Weisbachs ligningen også uttrykkes i form av trykktap:
hvor trykktapet på grunn av friksjon Ap, målt i Pa, er en funksjon av:
En kan forsikre seg om at ligningen på trykktapsform (over) er den samme som ved falltap (opprinnelig ligning) ved å multiplisere hver side med ρ og g.
Utdypende artikkel: Ligninger for Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor
Friksjonsfaktoren fD, eller strømningskoeffisient λ, er ikke en konstant og avhenger av parametrene for røret og fluidstrømmens hastigheten, dog er den kjent med stor nøyaktighet innenfor visse strømningsregimer. Den kan evalueres for gitte betingelser ved bruk av ulike empiriske eller teoretiske betingelser, eller den kan finnes fra diagrammer. Disse diagrammene blir ofte referert til som Moodys diagrammer, etter L.F. Moody, og dermed blir faktoren i seg selv noen ganger kalt Moodys friksjonsfaktor. Den blir også noen ganger kalt Blasius friksjonsfaktor, etter den omtrentlig formelen som han foreslo.
For laminær (sakte) væskestrømning, er det en konsekvens av Poiseuille lov at:
der faktorene betyr:
Re er Reynoldstall ρ er tettheten av fluidet [kg/m3 r er rørets radius η fluidets dynamiske viskositet [Pa·s]
For turbulent strømning er metoden for å finne friksjonsfaktoren fD å bruke Moodys diagram, eller tilsvarende hjelpemiddel, eller en kan løse ligninger som Colebrook-White ligningen eller Swamee-Jain-ligningen. Mens diagrammet og Colebrook-White-ligningen er iterative metoder, gjør Swamee-Jain ligning at fD kan bli funnet direkte for et sirkulær rør.
Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor, fD er fire ganger større enn Fannings-friksjonsfaktor, f, slik at ved bruk av diagramer for friksjonsfaktorer eller når en likning brukes må denne forskjellen tas hensyn til. Darcy-Weisbachs faktor, fD brukes mest innenfor bygnings- og maskinteknikk, mens Fannings faktor, f, er mest brukt innenfor kjemiteknikk.
Legg spesielt merke til at forholdet mellom Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor og Fannings faktor blir slik innsatt i ligningen:
De fleste diagrammer og tabeller er av typen som oppgir friksjonsfaktoren, eller i det minste oppgir formelen for friksjonsfaktoren med laminær strømning. Hvis formelen for laminær er f = 16/Re, er det snakk om Fannings faktor, f , og hvis formelen for laminær er fD = 64/Re, er Darcy-Weisbachs faktor, fD.
Hvilken friksjonsfaktor som er plottet i et Moody-diagram kan bestemmes ved inspeksjon hvis en er i tvil:
Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor oppsto som en variant på Prony ligning utviklet av den franske ingeniøren Henry Darcy, og har denne formen:
I denne likningen er falltapet (hf) relatert til rørfriksjon avhengig av forholdet mellom lengde (L) og diameter (D) til røret, L/D, væskehastigheten V og de to empiriske faktorene a and b som er bestemt av friksjonen.
Darcy-Weisbachs likningen slik som den i dag brukes er igjen en videreutviklet utført av matematikeren og ingniøren Julius Weisbach fra Sachsen i Tyskland i 1845. Til å begynne med manglet data for variasjon av fD med hensyn på hastigheten, dermed ble den den empiriske Prony ligningen foretrukket fremfor Darcy-Weisbach likningen i mange tilfeller. Senere ble det gjort mange studier for å lage enkle empiriske likninger for forskjellige strømningsregimer, slik som Hazen-Williams ligning og Mannings formel. Disse var betydelig enklere å bruke i beregninger.
Med introduksjon av datamaskin ble beregninger for å finne sammenhengen mellom fD og vannhastighet ikke lenger et stort problem. Darcy-Weisbachs ligning med sin generelle form har gjort den til den foretrukne ligningen for å beregne falltap.
Darcy-Weisbach ligningen er en fenomenologisk formel som finnes ved dimensjons analyse.
I stor avstand fra begynnelsen og slutten av røret vil egenskapene til væskestrømningen være uavhengig av posisjonen langs røret. De sentrale størrelser er da trykkfallet langs røret per lengdeenhet, Δp/L, og den volumetriske strømningshastighet. Strømningshastigheten kan bli omdannet til en gjennomsnittshastighet V ved å dividere volumstrømmen (m3/s) med det fuktede tverrsnittet (den delen av røret eller kanalen som er fylt med væske) av røret, som er lik tverrsnittet av røret hvis røret er helt fylt av væske.
Trykk har dimensjonen energi per volumenhet. Derfor må trykkfall mellom to punkter være proporsjonal med (1/2)ρV2, som har samme dimensjon og som også ligner (se nedenfor) uttrykket for den kinetiske energi per volumenhet. Samtidig må også trykket være proporsjonal med lengden av røret mellom to punkter L, fordi trykktapet per lengdeenhet er konstant. For å uttrykke dette forholdet som en dimensjonsløs proporsjonalitetsfaktor, må dette forholdet også divideres på den fuktede diameteren av røret, D, som også er konstant langs røret. Derfor må:
Proporsjonalitetskoeffisienten er den dimensjonsløse Darcy-Weisbachs friksjonsfaktor. Denne dimensjonsløse koeffisient kan være en kombinasjon av geometriske faktorer slik som π, Reynolds-tallet, og (utenfor det laminære strømningsregimet) den relative ruhet av røret (forholdet mellom trykkfall på grunn av ruhet og hydraulisk diameter).
Legg merke til at (1/2)ρV2 ikke er den kinetiske energi av fluidet per volumenhet av følgende grunner: Selv i tilfelle av laminær strømning hvor alle strømlinjene er parallelle med lengden av røret, hastigheten av fluidet på den indre overflate av røret er null på grunn av viskositeten, må hastigheten som oppstår i sentrum av røret derfor være større enn den gjennomsnittlige hastighet som oppnås ved å dividere den volumetriske strømningshastighet av det våte område. Den midlere kinetisk energi involverer den midlere kvadrathastigheten som alltid overstiger kvadratet av den midlere hastighet. I tilfelle av turbulent strømning får fluid tilfeldige hastighetskomponenter i alle retninger, til og med hastighetskomponenter vinkelrett på lengden av røret. Dermed vil turbulens som oppstår bidra til kinetisk energi per volumenhet, men ikke til det gjennomsnittlige langsgående hastigheten av væsken.
I hydrauliske regneprogrammer for datamaskiner er det ofte ønskelig å uttrykke trykktapet i form av volumetrisk strømningshastighet i røret. For dette er det nødvendig å erstatte det følgende i den opprinnelige trykktapet form av Darcy-Weisbach ligningen
hvor:
For det generelle tilfelle av en vilkårlig fyllingsgrad av et rør vil ikke verdien av Aw være umiddelbart kjent, men være en implisitt funksjon av røret helling, tverrsnittsform, strømningshastighet og andre variabler. Hvis imidlertid røret forutsettes å være fullstendig fylt, og med sirkulært tverrsnitt, som er vanlig i praktiske situasjoner, så vil:
hvor D er diameteren av røret
Anvendelse av disse resultatene i den opprinnelige formulering gir den endelige ligning for falltap i form av volumetrisk strømningshastighet i en fullstendig væskefylt sirkulært rør
hvor alle symbolene er som definert ovenfor.