Équations d'Euler pour un fluide incompressible irrotationnel soumis à un champ de gravité
Pour un écoulement incompressible irrotationnel la vitesse dérive d'un potentiel ψ. Les équations d'incompressibilité et de quantité de mouvement s'écrivent


où ρ est la masse volumique, p la pression, g la gravité et z l'altitude.
Démonstration
On montre que pour un écoulement incompressible irrotationnel la vitesse dérive d'un potentiel ψ

En reportant dans l'équation d'incompressibilité
on voit que ψ obéit à l'équation de Laplace

L'équation de quantité de mouvement s'écrit alors

Par ailleurs la gravité g dérive d'un potentiel

À l'échelle du problème on peut considérer g constant et écrire

En remarquant que
on obtient

Soit, en intégrant la constante d'intégration dans Φ0

L'équation de quantité de mouvement contient des cas particuliers intéressants :
- milieu homogène ψ = 0 conduit à l'équilibre hydrostatique,
- milieu stationnaire
conduit à l'équation de Bernoulli.
Par la suite on supposera la vitesse assez faible pour négliger l'énergie cinétique. On obtient ainsi l'expression de la pression

Milieu à surface libre
Examinons un problème bidimensionnel. On désigne par s (x) l'altitude de la surface par rapport à sa valeur au repos z = 0.
Outre l'équation de continuité on peut écrire une seconde équation à la surface en dérivant la pression. Compte tenu d'une approximation de faible amplitude de l'onde, cette relation est appliquée en z = 0.

Elle constitue une condition aux limites dynamique.
Démonstration
La surface est définie par z = s. Elle vérifie

l'approximation impliquant des ondes de faible amplitude.
La pression à la surface p0 vérifie

soit en dérivant en temps

En utilisant l'équation définie plus haut pour la surface il vient

Cette équation est valide sur la surface z = s. Compte tenu de l'hypothèse de faible amplitude des ondes on l'appliquera en z = 0.
À ce système il faut adjoindre une condition aux limites au fond si celui-ci existe ou lorsque
sinon.
La solution est cherchée sous forme d'ondes d'amplitude A en surface de pulsation ω et de nombre d'onde k


On examine ci-après deux cas particuliers qui éclairent le problème.
Milieu infiniment profond
Trajectoires d'une particule fluide. A pour un milieu infiniment profond, B pour une eau peu profonde.
La solution de l'équation de Laplace est ici une exponentielle décroissante

l'équation en z = 0 donne la relation de dispersion

La vitesse de phase
est le double de la vitesse de groupe
: le milieu est dispersif.
En intégrant une première fois ψ on obtient les composantes verticale et horizontale de la vitesse. Une nouvelle intégration donne alors les composantes de la particule fluide qui vérifient

a et b < 0 sont des constantes d'intégration arbitraires.
Cette équation décrit un cercle centré en (a, b) dont le rayon A ek b diminue exponentiellement avec la profondeur b (voir figure).
Fond plat
Pour un fond situé à l'altitude z = - h la solution de l'équation de Laplace est
![{\displaystyle \psi =-{\frac {jgA}{\omega \cosh {(kh)}}}\cosh {[k(h+z)]}e^{j(kx-\omega t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01691efd2901941483ec9f51de33a837d18cd541)
et la relation de dispersion

Dans la limite d'une eau peu profonde devant la longueur d'onde on a

d'où

qui décrit une propagation avec la vitesse
: le milieu est non dispersif.
Dans ce cas les trajectoires des particules fluides sont des ellipses (voir figure) dont le rapport des deux demi-axes est
: avec la profondeur le mouvement devient rapidement un mouvement de va-et-vient à altitude quasi-constante.
On notera que ce système correspond à un milieu dans lequel l'équilibre hydrostatique est vérifié, au moins au premier ordre. Il est décrit par les équations de Barré de Saint-Venant.
Dérive de Stokes
Dérive de Stokes (houle en milieu profond).
Dérive de Stokes (ondes cnoïdales en faible profondeur).
On a linéarisé la condition limite en surface en la ramenant à z = 0. En réalité il existe une vitesse de dérive de Stokes qui est une faible vitesse moyenne des particules fluides parallèlement à la surface (voir figures). Sa valeur peut être estimé à partir de considérations très générales

où T est la période de rotation de la particule fluide.
Dans le cas du milieu infiniment profond

La dérive varie comme le carré de l'amplitude et l'inverse de la longueur d'onde. Elle diminue rapidement avec la profondeur.
Démonstration
Une onde plane se déplaçant avec la vitesse c est décrite par l'équation

Soit x ( t ) la position d'une particule de fluide. Elle obéit à l'équation lagrangienne

d'où

Au final

En intégrant sur une durée égale à la période T on obtient le déplacement
![{\displaystyle c\left[\mathbf {x} (t+T)-\mathbf {x} (t)\right]=-\psi (\mathbf {x} ,t+T)+\psi (\mathbf {x} ,t)+\int _{0}^{T}|\nabla \psi (\mathbf {x} (t))|^{2}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a12fde278144ec77c77d308991fce7f9cb0247b)
Propagation
Dans le cas général l'onde est décrite par

où F représente la condition initiale. L'intégration est complexe car ω dépend de k et la fonction à intégrer est infiniment oscillante.
Démonstration
La solution du système linéaire en ψ s'obtient comme une intégrale de Fourier
![{\displaystyle s(x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\left[e^{j(kx-\omega t)}F_{+}(k)+e^{j(kx+\omega t)}F_{-}(k)\right]\mathrm {d} k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5d7f9737483e883953cf107cc085fe0c8304f0)
Les fonctions F± étant fixées par les conditions initiales sur s et sa dérivée temporelle (rappelons que ω dépend de k)
![{\displaystyle s(x,0)=\int _{-\infty }^{+\infty }\left[F_{+}(k)+F_{-}(k)\right]e^{jkx}\mathrm {d} k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1c82d818641b726884b983facba4d2ec3f6899)
![{\displaystyle \left.{\frac {\partial s(x)}{\partial t}}\right|_{t=0}=-j\int _{-\infty }^{+\infty }\left[F_{+}(k)-F_{-}(k)\right]\omega e^{jkx}\mathrm {d} k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84706d01945e043ddd96e41074f002ba6a4b1583)
Si l'on prend s ( x, 0 ) = s0 ( x ) et une dérivée temporelle nulle alors
et

et

On peut cependant trouver des solutions à partir d'une approximation de ω obtenue en développant la tangente hyperbolique. Pour k petit

Alors, en utilisant la méthode de la phase stationnaire pour
![{\displaystyle s(x,t)=F(k=0)\int _{-\infty }^{+\infty }e^{j[k(x-c_{0}t)+\gamma k^{3}t]}\mathrm {d} k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ac51048b9a2504f250c505f8293ffa4828a388)
La solution est une fonction d'Airy définie par

et donc en prenant
il vient

L'onde est formée par un front se propageant avec la vitesse de groupe, suivi d'ondes dont l'amplitude décroît comme