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L'équation de Darcy-Weisbach est une importante équation très utilisée en hydraulique. Elle permet de calculer la perte de charge (dissipation d'énergie) des conduites (« perte de charge linéaire », par opposition aux pertes de charge singulières).

Présentation de l'équation

L’équation de Darcy pour les pertes de charge est une amélioration de l’équation de Prony et a été développée par Henry Darcy, avant d'être modifiée par Julius Weisbach (scientifique allemand) en 1845 qui lui donna sa forme actuelle. La perte de pression s'exprime par :

La perte de charge, obtenue en divisant l'expression précédente par ρ g s'exprime par :

avec

  • ΔP - perte de pression [Pa]
  • ΔH - perte de charge [m]
  • fD - coefficient de perte de charge de Darcy [-]
  • L - longueur de la conduite [m]
  • ρ - masse volumique du fluide [kg⋅m−3]
  • Dh - diamètre hydraulique [m]
  • V - vitesse moyenne du fluide [m⋅s−1]
  • g - accélération de la pesanteur [m⋅s−2]

Les anglo-saxons désignent ces deux définitions par les termes pressure drop et head loss.

Diagramme de Moody

Le coefficient de perte de charge, noté le plus souvent fD (parfois λ), dépend du régime d’écoulement (laminaire ou turbulent) et des propriétés du fluide. En conditions isothermes, le nombre de Reynolds, qui est le rapport entre la puissance des forces d'inertie et la dissipation visqueuse, suffit à caractériser le régime d'écoulement.

Coefficients de perte de charge

Il existe deux coefficients de perte de charge.

  • L’un est le coefficient de perte de charge de Darcy, en référence à Henry Darcy, généralement utilisé par les français.
  • l'autre est le coefficient de perte de charge de Fanning en référence à John Thomas Fanning, appelé aussi coefficient de frottement car il définit la contrainte de cisaillement à la paroi ( = le frottement [Pa]):

Ce coefficient est généralement utilisé par les anglo-saxons.

Ces deux coefficients expriment la même réalité physique et sont reliés par la relation suivante :

Détermination du coefficient de pertes linéaires

Plusieurs méthodes existent pour définir le coefficient de perte de charge. Une des plus connues est le diagramme de Moody qui est un abaque permettant de déterminer le coefficient de perte de charge à partir du nombre de Reynolds et de la rugosité () de la conduite. Il est également possible de calculer directement ce paramètre à partir de corrélations qui sont à la base du diagramme du Moody :

  • Pour un écoulement laminaire dans un tube circulaire, , on obtient l'expression de par identification avec la loi de Hagen-Poiseuille :
(soit pour le coefficient de Fanning :)
  • Pour un écoulement turbulent dans un tube circulaire, , il existe un grand nombre de corrélations, certaines simples mais imprécises, d’autres plus lourdes mais plus proches de la réalité.
Rugosité pour quelques types de matériaux
Matériau Rugosité () [mm]
fer forgé 0,12 - 0,3
conduite rivée 0,75 - 1-05
galvanisé 0,15 - 0,3
béton (petit tuyau) 0,15 - 0,25
béton rugueux 0,9 - 1,5
béton très rugueux 1,5 - 2,15
galerie rocheuse 90 - 300

Corrélation de Blasius, est la plus simple, mais sa validité se réduit aux conduites parfaitement lisses (verre, PVC,...) :

Corrélation de Colebrook, également connu sous le nom d'équation de Colebrook-White :

Corrélation de Haaland :

Corrélation de Swamee–Jain:

Corrélation de Serghides. La comparaison a été effectuée avec 70 points sur un large intervalle de valeurs tant pour le nombre de Reynolds que pour la rugosité avec une erreur absolue maximale de 0,0031 %.

Corrélation de Goudar-Sonnad actuellement l'approximation la plus précise, est donnée avec une erreur absolue maximale inférieure à 0,000364 % pour plus de 10000 points compris entre 4000 < Re < 108 et 10-6 < ε/D < 10-2.

 ;  ;
 ;
 ;

Deux différentes possibilités sont disponibles pour calculer δ

1)
2)
  • Stuart W. Churchill a développé une formule pour les deux régimes, laminaire et turbulent :

En régime turbulent, certains auteurs précisent le champ d'application des formules précédentes, en fonction du produit , caractérisant la rugosité des conduites :

  • Pour (conduite lisse) :
    • pour  : formule de Blasius indiquée ci-dessus ;
    • pour  : formule de Hermann :  ;
    • pour  : formule de Nikuradzé :  ;
    • pour  : formule de Prandtl et v. Kármán : .
  • Pour (conduite rugueuse) :
    • formule de Nikuradzé :
    • formule de Moody :
    • formule de Eck :
  • Pour (conduite intermédiaire) :
    • formule de Prandlt et Colebrook indiquée ci-dessus (formule de Colebrook)
    • formule de Altschoul :
    • formule de Citrini :

Bibliographie

  • (de) Willi Bohl et Wolfgang Elmendorf, Technische Strömungslehre, Würzburg, Vogel Fachbuch, , 504 p. (ISBN 978-3-8343-3129-8)

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