Derivadas de equações governantes
As derivadas das equações acima para ondas em um meio acústico são dadas abaixo.
Conservação do momento
As equações para a conservação do momento linear para o meio fluido são

onde
é a força do corpo por unidade de massa,
é a pressão, e
é a desvio de tensão. Se
é o [[Tensor tensão de Cauchy|tensor Cauchy], então

onde
é um tensor de segunda ordem.
Nós fazemos diversas suposições para derivar a equação do momento de equilíbrio para um meio acústico. Essas suposições e as formas resultantes da equação de momento são destacadas abaixo.
Suposição 1: Fluídos Newtonianos
Em acústica, o meio do fluído é assumida como sendo Newtoniano. Para um fluido Newtoniano, o tensor de desvio de tensão é relacionado a velocidade de fluxo por
![{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu ~\left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right]+\lambda ~(\nabla \cdot \mathbf {u} )~{\boldsymbol {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffceb4db528b36e739f8ff1695e993b51c5f1da9)
onde
é a viscosidade de cisalhamento e
é a viscosidade do módulo.
Assim sendo, a divergência de
é dada por
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}\equiv {\cfrac {\partial s_{ij}}{\partial x_{i}}}&=\mu \left[{\cfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\cfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]+\lambda ~\left[{\cfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}\right)\right]\delta _{ij}\\&=\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{i}}}+\lambda ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}\\&=(\mu +\lambda )~{\cfrac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}^{2}}}\\&\equiv (\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu ~\nabla ^{2}\mathbf {u} ~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb3148adbff7f31faa4d7322919173d52a0a650)
Usando a identidade
, nós temos

As equações de conservação do momento então podem ser escritas como

Suposição 2: Fluxo irrotacional
Para a maioria dos problemas de acústica nós assumimos que o fluxo é irrotacional, isso é, a vorticidade é zero. Neste caso

e a equação de momento pode ser reduzida para

Suposição 3: Sem força de corpo
Outro suposição frequentemente feita é de que o efeito das forças do corpo no meio do fluido é negligenciável. A equação de momento então simplifica ainda mais para

Suposição 4: Sem forças viscosas
Adicionalmente, se nós assumimos que não há forças viscosas no meio (as viscosidades de massa e cisalhamento são zero), a equação do momento assume a forma

Suposição 5: Pequenas perturbações
Uma importante suposição de simplificação para equações de onda é que a amplitude de perturbação das grandezas de campo é pequena. Esta suposição nos leva para a equação linear ou equação de pequenos sinais acústicos de onda. Então nós podemos expressar as variáveis como a soma do (média de tempo) campo médio (
) que varia no espaço e um pequeno campo flutuante (
) que varia no espaço e tempo. Que é

e

Então a equação de momento pode ser expressa como
![{\displaystyle \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}+\left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]\cdot \nabla \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]\right]=-\nabla \left[\langle p\rangle +{\tilde {p}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40512e54af694d92ba1dc0c19b69f850ce1ea79)
Como as flutuações são assumidas como pequenas, produtos dos termos flutuantes podem ser negligenciados (para primeira ordem) e nós temos
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}&+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]+\langle \rho \rangle \left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla {\tilde {\mathbf {u} }}+{\tilde {\mathbf {u} }}\cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]\\&=-\nabla \left[\langle p\rangle +{\tilde {p}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0f83ab1e8686dfcd71be55d066dc7c6477a13b)
Suposição 6: Meio Homogêneo
Em seguida, assumidos que o meio é homogêneo; no sentido de que as variáveis de média do tempo
e
tem gradientes nulos, que é,

A equação momento então se torna
![{\displaystyle \langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]+\langle \rho \rangle \left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla {\tilde {\mathbf {u} }}+{\tilde {\mathbf {u} }}\cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]=-\nabla {\tilde {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e1d9870083de7a2ec74355c955f7731902ab95)
Suposição 7: Meio em repouso
Neste estágio nos assumimos que o meio está em repouso, o que implica, que a velocidade média de fluxo é zero, isto é,
. Então o balanço do momento se reduz para

Deixando cair os tis e usando
, nós obtemos a comumente usada forma da equação de momento

Conservação da massa
A equação para a conservação da massa em um volume de fluido (sem nenhuma fonte de massa ou sumidouro) é dada por

onde
é a densidade da massa do fluido e
a velocidade de fluxo.
A equação para a conservação de massa para médio acústico pode também ser derivado em uma maneira similar para aquela usada para a conservação do momento.
Suposição 1: Pequenas perturbações
Da suposição de pequenas perturbações nós temos

e

Então a equação da massa pode ser escrita como
![{\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]+\nabla \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\cdot \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ac647bd1b51d88e3628e2b280a540e6de99ec5)
Se nós negligenciarmos esses termos da primeira ordem nas flutuações, a equação da massa se torna
![{\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}+\nabla \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\nabla \langle \rho \rangle \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23d73e230210fa880b4568f1b55cc74d64c90e4)
Suposição 2: Meio homogêneo
Em seguida nós assumimos que o meio é homogêneo, ou seja,

Então a equação de equilíbrio da massa toma a forma
![{\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}+\nabla {\tilde {\rho }}\cdot \langle \mathbf {u} \rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3960d8d72513773489d66b2ba76ea4b0bc95658)
Suposição 3: Meio em repouso
Neste estágio nós assumimos que o meio está em repouso, ou seja,
. Então a equação de equilíbrio da massa pode ser expressada como

Suposição 4: Gás ideal, adiabático, reversível
Para fechar o sistema de equações nós precisamos de uma equação de estado para a pressão. Para fazer aquilo nós assumimos que o meio é um gás ideal e todas as ondas acústicas comprimem o meio em um adiabático e reversível maneira. A equação de estado pode então ser expressa na forma de uma equação diferencial:

onde
é o calor específico em pressão constante,
é o calor específico em volume constante, e
é a velocidade da onda. O valor de
é 1.4 se o meio acústico é ar.
Para pequenas perturbações

onde
é a velocidade do som no meio.
Sendo assim,

O equilíbrio de massa então pode ser escrito como

Deixando cair os tis e definindo
nos da a comumente utilizada expressão para o equilíbrio de massa em um meio acústico:

Equações governantes em coordenadas cilíndricas
Se nós usarmos um sistema de coordenadas cilíndricas
com vetores base
, então o gradiente de
e a divergência de
são dados por

onde a velocidade de fluxo pode ser expressada como
.
A equação para a conservação do momento pode ser escrita como
![{\displaystyle \rho _{0}~\left[{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial t}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial t}}~\mathbf {e} _{z}\right]+{\cfrac {\partial p}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial p}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial p}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b1aae42ee36c0cc3e9cbc7855beeff5bd385aa)
Em termos de componentes, essas três equações para a conservação do momento em coordenadas cilíndricas são

A equação para a conservação da massa pode similarmente ser escrita em coordenadas cilíndricas como
![{\displaystyle {\cfrac {\partial p}{\partial t}}+\kappa \left[{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right]=0~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e0e691b30273e708b9c5c2f113da1a3682c99e)
Equações acústicas harmônicas temporais em coordenadas cilíndricas
As equações acústicas para a conservação do momento e da conservação de massa são frequentemente expressas no tempo na uma forma harmônica (em frequência fixa). Neste caso, as pressões e a velocidade de fluxo são assumidas como funções harmônicas de tempo na forma

onde
é a frequencia. A substituição dessas expressões em equações governantes em coordenadas cilíndricas nos da a forma de frequencia fixa da conservação de momento

e a forma de frequencia fixa da conservação de massa

Caso Especial: Sem dependência no z
Nesse caso especial onde as quantidades de campo são independentes da coordenada z nós podemos eliminar
para conseguir

Assumindo que a solução para está equação possa ser escrita como

nós podemos escrever a equação diferencial parcial como

O lado esquerdo não é uma função de
enquanto que o lado direito não é uma função de
. Consequentemente,

onde
é uma constante. Usando a substituição

nós temos

A equação a esquerda é uma Equação de Bessel, que tem a solução geral

onde
é a função de Bessel cilíndrica de primeiro tipo e
são constantes indeterminadas. A equação a direita possui a solução geral

onde
são constantes indeterminadas. Então a solução para a equação de onda acústica é
![{\displaystyle p(r,\theta )=\left[A_{\alpha }~J_{\alpha }(k~r)+B_{\alpha }~J_{-\alpha }(k~r)\right]\left(C_{\alpha }~e^{i\alpha \theta }+D_{\alpha }~e^{-i\alpha \theta }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de433e62804358d7a32e6cc88196e28cf149a62)
Condições de limite são necessárias neste estágio para determinar
e as outras constantes indeterminadas.