Em matemática, a derivada material (também chamada de derivada substancial) é uma derivada tomada ao longo de um caminho movendo-se com velocidade v, e é frequentemente utilizada em mecânica dos fluidos e mecânica clássica. Ela é descrita como a taxa de variação em relação ao tempo do valor de alguma propriedade (tal como calor ou momento) de matéria/substância que está sendo transportada. Ou seja, de alguma matéria que está sujeita a um campo de velocidade que varia no espaço e no tempo.

Há vários outros nomes ao operador, incluindo:

Definição

A derivada material de um campo escalar φ( x, t ) e de um campo vetorial u( x, t ) são definidas respectivamente como:

onde a distinção é que é o gradiente de um escalar, enquanto é a derivada tensorial de um vetor. No caso de uma derivada material de um campo vectorial, o termo v•∇u pode tanto ser interpretado como v•(∇u) envolvendo a derivada tensorial de u, ou como as (v•∇)u, levando ao mesmo resultado.

Inconvenientemente, o termo derivada convectiva é utilizada por vezes tanto para se referir a derivada material Dφ/Dt ou Du/Dt, quanto para o termo referente a taxa de variação espacial, v•∇φ ou v•∇u.


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