Koncepcja funkcji prądu
Funkcję prądu tworzy się w ten sposób, aby równanie ciągłości przepływu stanowiące hydrodynamiczny odpowiednik zasady zachowania masy spełnione było tożsamościowo. Funkcję prądu definiuje się wówczas jako funkcję
której pochodne przestrzenne wyrażają składowe wektora prędkości płynu
Funkcję prądu tworzy się najczęściej dla przepływu płynu nieściśliwego. Równanie ciągłości przepływu odnoszące się do wektora prędkości płynu
przyjmuje wówczas postać:

Dla przepływów płynów nieściśliwych funkcję prądu zdefiniować można alternatywnie jako funkcję wektorową
której rotacja równa jest wektorowi prędkości płynu

Równanie ciągłości przepływu jest wówczas spełnione tożsamościowo, gdyż

dla każdego pola wektorowego
Znacznie trudniejsze jest tworzenie funkcji prądu dla przepływu płynu ściśliwego, dla którego równanie ciągłości przepływu przyjmuje bardziej skomplikowaną formę:

gdzie
jest gęstością płynu, a
czasem.
Funkcję prądu najłatwiej utworzyć dla dwuwymiarowego przepływu płynu nieściśliwego. Natomiast dla przepływu płynu ściśliwego funkcja prądu może być utworzona jedynie w nielicznych przypadkach szczególnych.
Funkcja prądu w przepływie dwuwymiarowym we współrzędnych prostokątnych
W przepływie trójwymiarowym rozpatrywanym we współrzędnych prostokątnych
równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych przyjmuje postać:

gdzie
są składowymi wektora prędkości
W przepływie dwuwymiarowym rozpatrywanym na płaszczyźnie
równanie
ciągłości redukuje się do postaci:

Funkcję prądu można definiować wówczas jako funkcję
dla której:


Alternatywnie funkcję prądu można definiować jako funkcję
dla której:


Nietrudno zauważyć, że podstawienie każdej z alternatywnych par powyższych wyrażeń do równania ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych powoduje, że jest ono spełnione tożsamościowo. Istnieją więc dwie alternatywne definicje funkcji prądu, różniące się jedynie znakiem.
Funkcje prądu dla przepływów dwuwymiarowych w płaszczyznach
oraz
definiuje się analogicznie jak dla płaszczyzny
Funkcja prądu w przepływie dwuwymiarowym we współrzędnych cylindrycznych
Współrzędne cylindryczne
otrzymywane są ze współrzędnych prostokątnych
poprzez następującą transformację układu współrzędnych:



W przepływie trójwymiarowym rozpatrywanym we współrzędnych cylindrycznych
równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych przyjmuje postać:

lub

gdzie
są składowymi wektora prędkości
W przepływie dwuwymiarowym na powierzchni płaskiej rozpatrywanym we współrzędnych cylindrycznych
równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych redukuje się do postaci:

Funkcję prądu można definiować wówczas jako funkcję
dla której:


lub:


Podstawienie każdej z alternatywnych par powyższych wyrażeń do równania ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych we współrzędnych cylindrycznych powoduje, że jest ono spełnione toższamościowo.
W przepływie dwuwymiarowym rozpatrywanym na powierzchni cylindrycznej, tj. we współrzędnych cylindrycznych
równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych redukuje się do postaci:

Funkcję prądu można definiować wówczas jako funkcję
dla której:


lub:


Podobnie jak w przypadku poprzednim nietrudno zauważyć, że podstawienie każdej z alternatywnych par powyższych wyrażeń do równania ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych we współrzędnych cylindrycznych powoduje, że jest ono spełnione tożsamościowo.
Funkcja prądu a linie prądu
W przepływie płaskim każdej linii prądu przypisać można odpowiadającą jej funkcję prądu. Funkcja prądu uzyskuje wówczas konkretny sens fizykalny. Natężenie przepływu strugi zawartej między dwoma liniami prądu (oznaczonymi poniżej jako ‘2’ oraz ‘1’) równe jest różnicy wartości odpowiadających im funkcji prądu:

Znaczenie pojęcia funkcji prądu
Pojęcie funkcji prądu wykorzystywane jest często w mechanice płynów do analizy rozmaitych przypadków przepływu płynów idealnych i rzeczywistych.
Literatura
- Batchelor G.K.: Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge.
- Kotchin N.E., Kibel N.A., Roze N.V.: Teoretitcheskaya gidromekhanika, vol. 1, 2, Moskva 1955.
- Landau L.D., Lifszyc E.M.: Hydrodynamika, Warszawa.
- Landau L.D., Lifszyc E.M.: Mechanika ośrodków ciągłych, Warszawa 1959.
- Lamb: Hydrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge (istnieje wiele wydań, poczynając od 1932 roku).
- Milne-Thomson: Theoretical Hydrodynamics.
- Prosnak W.: Mechanika płynów, t. 1, 2, Warszawa.