Il numero di Prandtl (abbreviato spesso con Pr) è un numero adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica per un fluido viscoso.

Il suo analogo per lo scambio materiale è il numero di Schmidt.

Definizione matematica

È definito come:

dove (relativamente al fluido in esame):

  • ν è la diffusività cinematica;
  • α è la diffusività termica;
  • μ è la viscosità dinamica (misurata in [Pa s] = [kg/(m s)] nel SI);
  • è il calore specifico a pressione costante (misurato in [J/(kg K)] = [m2/(K s2)] nel SI);
  • k è la conducibilità termica (misurata in [W/(m K)] = [kg m/(K s3)] nel SI).

Formulazione della definizione matematica

L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:

,

in cui (relativamente al corpo in esame):

  • è la derivata materiale temporale dell' entalpia specifica ( nel SI in [J/kg] = [m^2/s^3] )
  • è il flusso termico ( nel SI in [W/(m ^ 2)] = [Kg /(s^3)] )
  • τ : ∇u è la dissipazione ( nel SI in [W] )
  • τ è il tensore dello sforzo di taglio ( nel SI in [Pa] )
  • ∇u è il gradiente della velocità di flusso ( nel SI in [s]^-1 )

Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando l'equazione dell'energia di Navier Stokes, ovvero quella per un fluido viscoso. Il corpo continuo che segue la legge di Stokes e la legge di Fourier :

,

in cui (relativamente al corpo in esame):

  • k è la conducibilità termica( nel SI in [W/m K] )
  • μ è la viscosità dinamica ( nel SI in [Pa s] )
  • T è la temperatura ( dimensionalmente [K] )

nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:

,

ovvero:

,

in cui (relativamente al fluido in esame):

  • α è la diffusività termica;
  • ν è la diffusività cinematica.

Adimensionalizzando ora e risulta che:

,

perciò:

,

ora è l'adimensionale cercato:

quindi l'equazione dell'energia di Navier Stokes diventa:

Interpretazione fisica

Valori tipici del numero di Prandtl sono:

  • circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;
  • tra 100 e 40.000 nel caso degli oli motore;
  • circa 0,015 per il mercurio.
  • circa 7 per l'acqua (a 20 °C).

Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, ha viscosità e conducibilità termica nulle[ senza fonte ], per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.

Applicazioni


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