Définition
Par une approche pseudo-différentielle
Pour les champs de vecteur
(en dimension quelconque
), le projecteur de Leray
est défini par

Cette définition est à comprendre au sens des opérateurs pseudo-différentiels : son multiplicateur de Fourier à valeurs matricielles
est donné par

Ici,
est le symbole de Kronecker. Formellement, cela signifie que pour tout
, on a

où
est l'espace de Schwartz. On utilise ici la convention de sommation d'Einstein.
Par la décomposition de Helmholz-Leray
Il est possible de montrer qu'un champ de vecteurs
donné se décompose sous la forme

Au contraire de la décomposition de Helmholtz, la décomposition de
Helmholtz-Leray de
est unique (à une constante additive
près pour
). Nous pouvons alors définir
par

Propriétés
Le projecteur de Leray a les propriétés remarquables suivantes :
- Le projecteur de Leray est un projecteur :
pour tout
.
- Le projecteur de Leray est un opérateur à divergence nulle :
pour tout
.
- Le projecteur de Leray est simplement l'identité pour les champs de vecteur à divergence nulle :
pour tout
tel que
.
- Le projecteur de Leray s'annule sur tous les champs de vecteurs qui dérivent d'un potentiel :
pour tout
.
Application aux équations de Navier-Stokes
Les équations de Navier-Stokes (incompressibles) sont


où
est la vélocité du fluide,
la pression divisée par la masse volumique (constante),
la viscosité et
la force externe volumique.
En appliquant le projecteur de Leray à la première équation, on obtient en utilisant les propriétés ci-dessus :

où

est l' opérateur de Stokes (en) et la forme bilinéaire
est définie par
![{\displaystyle \mathbb {B} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbb {P} [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a341af62d38fd810958b5359fdbd5e0c5da7d6e)
En général, on suppose pour simplifier que
est à divergence nulle, de telle sorte que
; cela peut toujours être vérifié, avec le terme
ajouté à la pression.
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