Гравітаційні хвилі на воді — різновид хвиль на поверхні рідини, при яких сила, яка повертає деформовану поверхню рідини до стану рівноваги, є просто сила тяжіння, пов'язана з перепадом висот і западини в гравітаційному полі.

Траєкторії умовних часток води при не дуже великий (порівнянної з довжиною хвилі) глибині являють собою еліпс, що ілюструється хитанням пляшки

Загальні властивості

Гравітаційні хвилі на воді — це нелінійні хвилі. Точний математичний аналіз можливий лише в лінеаризованому наближенні і відсутності турбулентності. Крім того, зазвичай мова йде про хвилі на поверхні ідеальної рідини. Результати точного рішення в цьому випадку описані нижче.

Гравітаційні хвилі на воді не поперечні і не поздовжні. При коливанні рідини описують деякі криві, що переміщуються як в напрямку руху, так і поперек нього. У лінеаризованому наближенні ці траєкторії мають вигляд кіл. Це призводить до того, що профіль хвиль не синусоїдальний, а має характерні загострені гребені.

Нелінійні ефекти виявляються, коли амплітуда хвилі стає порівнянної з її довжиною. Одним з характерних ефектів у цьому режимі є поява зламів на вершинах хвиль. Крім того, з'являється можливість перекидання хвилі. Ці ефекти поки не піддаються точному аналітичному розрахунку.

Закон дисперсії для слабких хвиль

Поведінка хвиль малої амплітуди можна з хорошою точністю описати лінеаризованими рівняннями руху рідини. Для справедливості цього наближення необхідно, щоб амплітуда хвилі була істотно менше довжини хвилі, так і глибини водойми.

Є дві граничні ситуації, для яких розв'язок задачі має найбільш простий вид — це гравітаційні хвилі на мілкій воді і на глибокій воді.

Гравітаційні хвилі на мілкій воді

Наближення хвиль на мілкій воді справедливо в тих випадках, коли довжина хвилі значно перевищує глибину водойми. Класичний приклад таких хвиль — це цунамі в океані: до тих пір, поки цунамі не вийшла на берег, вона являє собою хвилю амплітудою порядку декількох метрів і довжиною в десятки і сотні кілометрів, що, звичайно ж, істотно більше глибини океану.

Закон дисперсії і швидкості хвилі в цьому випадку має вигляд:

де H — глибина водойми (відстань від поверхні до дна),
g — напруженість гравітаційного поля (прискорення вільного падіння).
 — кутова частота коливання в хвилі,
k — хвильове число (величина, обернена довжині хвилі),
 — фазова і групова швидкості відповідно.

Такий закон дисперсії призводить до деяких явищ, які можна легко помітити на морському березі.

  • Навіть якщо хвиля у відкритому морі йшла під кутом до берега, то при виході на берег гребені хвилі мають тенденцію розвиватися паралельно березі. Це пов'язано з тим, що поблизу берега, коли глибина починає поступово зменшуватися, швидкість хвилі падає. Тому коса хвиля пригальмовує на підході до берега, розвертаючись при цьому.
  • За рахунок аналогічного механізму при підході до берега зменшується поздовжній розмір цунамі, при цьому висота хвилі зростає.

Гравітаційні хвилі на глибокій воді

Наближення хвилі на глибокій воді справедливо, коли глибина водойми значно перевищує довжину хвилі. В цьому випадку для простоти розглядають нескінченно глибока водойма. Це обґрунтовано, оскільки при коливаннях поверхні реально рухається не вся товща води, а лише приповерхневих шар глибиною порядку довжини хвилі.

Закон дисперсії і швидкості хвилі в цьому випадку має вигляд:

З виписаного закону випливає, що фазова і групова швидкість гравітаційних хвиль в цьому випадку виявляється пропорційною довжині хвилі. Іншими словами, довгохвильові коливання будуть поширюватися по воді швидше короткохвильових, що призводить до ряду цікавих явищ:


  • Кинувши камінь у воду і дивлячись на кола, утворювані ним, можна помітити, що межа хвиль розширюється не рівномірно, а приблизно рівноприскорено. При цьому чим більше кордон, тим більше довгохвильовими коливаннями вона формується.
  • Красивим наслідком виписаного закону дисперсії є корабельні хвилі.

Гравітаційні хвилі в загальному випадку

Якщо довжина хвилі порівнянна з глибиною басейну H, то закон дисперсії в цьому випадку має вигляд:

Деякі проблеми теорії гравітаційних хвиль на воді

  • Досі не зрозумілий механізм формування і стійкості так званих хвиль-вбивць — неочікуваних хвиль екстремальної амплітуди.

У цій статті використовується матеріал з статті Вікіпедії Гравітаційні хвилі (гідродинаміка), який випущений під Creative Commons Attribution-Share-Alike License 3.0.