Problemas do Prémio Millennium |
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P versus NP |
Conjectura de Hodge |
Conjectura de Poincaré (solução) |
Hipótese de Riemann |
Existência de Yang-Mills e intervalo de massa |
Existência e suavidade de Navier-Stokes |
Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer |
As Equações de Navier-Stokes são um dos pilares da mecânica de fluidos. Estas equações descrevem o movimento de um fluido (líquido ou gás) no espaço físico.
As soluções das equações de Navier-Stokes são utilizadas em diversas aplicações práticas, entretanto, o entendimento teórico destas soluções são incompletos. Particularmente, as soluções destas equações incluem turbulência, as quais se mantém como um dos maiores problemas em aberto da física, apesar de sua imensa importância para a física teórica e a engenharia.
Já que o completo entendimento das equações de Navier–Stokes é considerado o primeiro passo para o entendimento da turbulência em fluidos, o Clay Mathematics Institute ofereceu em maio de 2010 um prêmio de um milhão de dólares para qualquer pessoa que comprove estas equações e forneça uma pista para os fenômenos turbulentos. O desafio é explicado como um problema matemático concreto.
Na matemática, as equações de Navier-Stokes corresponde a um sistema não linear com equações de derivadas parciais em campos de vetoriais abstratos de qualquer tamanho. Na física e na engenharia, é um sistema de equações que modela o movimento de líquidos e de gases não rarefeitos utilizando a mecânica de meios contínuos.
Suponha seja um vetor tridimensional da velocidade do fluido, e seja a pressão do fluido. As equações de Navier-Stokes serão:
onde é a viscosidade cinemática, é a força externa, é o gradiente e é o operador laplaciano, que também é denotado por . Perceba que isto será uma equação vetorial, ou seja ela possui três equações escalares. Pode-se escrever as coordenadas da velocidade e da força externa da seguinte forma:
então para cada tem-se o escalar correspondente da equação de Navier–Stokes:
A velocidade e a pressão são os parâmetros desconhecidos. Já que para um sistema tridimensional se obteve três equações e quatro parâmetros desconhecidos (os três escalares da velocidade e a pressão), faz-se necessário uma equação suplementar. Esta equação extra é a equação de continuidade que descreve a incompressibilidade do fluido.
De acordo com esta última propriedade, as soluções para as equações de Navier–Stokes são procuradas dentro do conjunto de funções livre de divergências. Para que este fluxo a densidade e viscosidade sejam constantes.
A condição inicial assume-se sendo uma função suave e livre de divergência de forma que para cada índice múltiplo e qualquer , existe uma constante tal que
A força externa assume-se sendo também uma função suave e que satisfaça a desigualdade
Para condições físicas razoáveis, o tipo de solução esperada será funções suaves que não cresçam da forma . Mais precisamente, assume-se que:
A condição 1 implica que as funções serão suaves e globalmente definidas e a condição 2 significa que o energia cinética da solução é globalmente contida.
Prove ou dê um contra-exemplo da seguinte declaração:
Em três dimensões de espaço e tempo, dado um campo de velocidade inicial, existe um vetor de velocidade e um campo escalar de pressão, em que ambos são suaves e globalmente definidos, que resolvem as equações de Navier-Stokes.