库塔-豬可夫斯基定理(Kutta–Joukowski theorem)是空气动力学的基本定理,計算在機翼或是二維物體(例如 圓柱 )在均勻流體中的升力,且此流場的速度夠快,使物體的速度場是穩定及無分離的。定理是有關一個正 圓柱 的升力以及圓柱和流體之間的相對速度、流體密度以及环量。库塔-儒可夫斯基定理得名自德國科學家 馬丁·威廉·庫塔 及俄國科學家尼古拉·葉戈羅維奇·茹科夫斯基,他們在二十世紀初首次提出這様的概念。库塔-儒可夫斯基定理是考慮壓力及升力的無粘性理論,不過在典型的空氣動力學應力時,可以模擬實際的黏性流。
环量定義為流體速度沿著曲線的柱形物體,在繞著圓柱或機翼一周的 線積分 ,其速度的大小及方向會沿著路徑而改變。
库塔-儒可夫斯基定理建立升力和环量的關係,類似馬格努斯效應建立旋轉和側向力的關係一樣。不過此處的环量不是因為機翼的旋轉而產生,而是因為以下提及的機制而產生。由於機翼的存在,氣流的變化可以視為平移流場及旋轉流場(渦旋)的疊加。此旋轉流是由翼型的外傾角、攻角及銳利的後緣角所產生,不同於外形像龍捲風的渦旋。若離機翼夠遠時,旋轉流可以視為是由渦旋所引發的,渦旋的中心線平行二維平面。在描述機翼的库塔-儒可夫斯基定理時,一般會假設機翼是圓柱形或是其他的茹科夫斯基翼型。
此定理和在二維流場中的翼型(或是翼展無窮大的圓柱)有關,可以計算單位翼展下的升力。當环量已知,其升力除以翼展下的單位翼展升力(或表示為)可以表示為以下的方程式:
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其中
上述环量是沿著一個封閉圍道進行,此圍道包覆著翼型或是圓柱,且沿著其正方向(逆時針)進行。其路徑需在位流的範圍內,不能在圓柱的邊界層內。被積分式是局部流體速度沿著曲線切線方向的分量,且為曲線的無窮小面積。方程式 (1) 是库塔-儒可夫斯基定理中的一個形式。
Kuethe和Schetzer用以下的話描述库塔-儒可夫斯基定理:
在使用库塔-儒可夫斯基定理時,需注意环量的計算。
一個產生升力的翼型或者具有彎度,或者是在均勻的流體中以一定攻角(机翼弦线和平移方向的角度)平移。而且翼型需要有一個銳利的後緣。上述條件類似鳥的翅膀,有銳利的後緣,有彎度,在天空中有一定的攻角。
實際的流體是有黏性的,流體速度在翼型邊緣為零,因此若考慮黏性流體,且以翼型形狀為圍道計算環量,其環量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會在後緣相會,而黏滯耗散會使流體不旋轉。這稱為真實流場的库塔條件。 普朗特 發現若雷諾數夠大,攻角夠小,翼型夠薄,則流場可以分為靠近機翼小區域的黏滯層(稱為邊界層),以及其他區域的非黏性流。
库塔和儒可夫斯基發現在計算雷諾數夠大,攻角夠小,厚度夠薄的翼型之壓力和升力時,若假定已考慮库塔條件,可以假設整個流場是非黏性流。這稱為位流理論,在實務上結果相當接近。在非黏性流施加库塔條件相當於計算环量。
簡單來說,類似鳥翅膀的機翼自然會產生升力,在飛行中的流場滿足库塔條件。若使用位流理論(在計算壓力及升力時假設是非黏性流及無旋轉流,計算阻力時用普朗特邊界層來近似),要求飛行時間符合库塔條件,會得到一個由=库塔-儒可夫斯基定理和環量產生的升力,和實際的升力非常接近。
以下有二種推導方式,第一個是基於物理的直覺,較启发式的推導,第二種是比較正式及技術式的推導,需要用到向量分析及 複變分析 的知識。
以較啟發式的說法,考慮一個薄的機翼,其翼弦為,有無限長的翼展,在密度為的空氣中移動。令翼和氣流有一個攻角,使翼的一側的氣流速度為,另一側的氣流速度為,因此其 環流 為
機翼兩側的壓力差可以由伯努利定律求得
因此單位翼展的浮力為
此理論的微分版本可應用在機翼中的每一個元素,也是薄翼理論(thin-airfoil theory)的基礎。
库塔-儒可夫斯基定理的正式推導 |
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首先先計算任何截面積、單位長度的長條物體在流體中的受力。先令單位長度的力(以下簡稱為力)為,因此總受力為:
其中C為長條物體的邊緣、為流體的 靜壓 、為和長條物體表面垂直的單位向量、ds是截面積邊緣的弧狀元素。令為法向量和垂直的夾角,上述力的分量為: 以下是重要步驟:將上述的二維空間當作 複數平面 ,每個向量可以用 複數 表示,第一個分量對應其實部數值,第二個分量對應其虛部數值,因此上述的力可以表示為: 下一步是取力的共轭复数,再做一些處理: 表面元素ds和dz的變化有關: 將這些代入積分中,可得: 接下來為了將壓力移出積分以外,應用伯努利定律。假設沒有其他外在的力場,流體的質量密度為,壓力和速度有以下的關係: 將上式代入力的積分式,可得: 還剩下一個步驟要進行:引入,流場的複變勢函數,和速度分量的關係是,其中撇号表示對複數變數z的微分。速度會相切於邊緣C,因此,則,受力的表示式可以改寫為下式: 稱為 布拉乌斯-恰普雷金公式 ([Blasius–Chaplygin formula)。 若要得到库塔-儒可夫斯基定理,需計算上述積分的值,根據複變分析可知,一個全纯函数可以用洛朗級數來表示,根據此問題的物理特性,複變勢函數的微分會如以下所示: 因為在無窮遠處的速度為有限值,此函數沒有其他高階項。因此即為此函數在無窮遠處的導數:. 下一個任務是找出的意義,根據留數定理可得 再計算以下的積分: 第一個積分即為环量,可以用表示,第二個積分可以用以下方式計算: 此處為 流函數 ,因為邊界C本身即為流線,因此在上面流函數不會變化,即,因此第二個積分為零,因此: 複變勢函數取平方: 將上式代入布拉乌斯-恰普雷金公式中,利用留數定理算積分: 因此库塔-儒可夫斯基定理為: |
库塔-儒可夫斯基定理預測的升力是以無粘性流的 勢流 理論為基礎,但若流場是穩定且無分離的,库塔-儒可夫斯基定理的結果很接近實際的黏性流。
在推導库塔-儒可夫斯基定理時,有假設流場是無旋轉流,若在物體外有自由渦流,就像許多不穩定流的情形,此流場為旋轉流,在推導升力時就需要一些更複雜的理論。