Formulation
Variables réduites
On s'intéresse à un écoulement incompressible parallèle décrit par les équations de Navier-Stokes écrites en variables réduites faisant intervenir le nombre de Reynolds basé sur une longueur caractéristique L0 et une vitesse caractéristique U0 de l'écoulement
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {V} }}}{\partial {\tilde {t}}}}+({\tilde {\mathbf {V} }}\cdot \nabla _{\tilde {x}}){\tilde {\mathbf {V} }}&=&-\nabla _{\tilde {x}}\,{\tilde {p}}+{\frac {1}{Re}}\nabla _{\tilde {x}}^{2}{\tilde {\mathbf {V} }}\\[0.6em]\nabla _{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathbf {V} }}&=&0\\[0.6em]{\tilde {\mathbf {V} }}(\mathbf {x} ,0)&=&{\tilde {\mathbf {V} }}_{0}(\mathbf {x} )\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08bfe36bd060002bc63070d0406db64eabba1ff8)
Démonstration
Partant du système de Navier-Stokes incompressible
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \nabla _{x})\mathbf {V} &=&-{\frac {1}{\rho }}\nabla _{x}\,p+\nu \,\nabla _{x}^{2}\mathbf {V} \\[0.6em]\nabla _{x}\cdot \mathbf {V} &=&0\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8223dbe50ffbf72a903dc35c9aff2dcf9fdda987)
où ν est la viscosité cinématique, on définit pour ce problème les quantités de référence suivantes : longueur L0 et vitesse U0 avec lesquelles on forme un nombre de Reynolds caractéristique du problème traité

Les variables sans dimension sont donc

Dans ce nouveau système l'opérateur gradient s'écrit

Il ne reste plus qu'à introduire ces quantités dans le système ci-dessus et multiplier par L0U0-2.
La suite ne concernant que les variables adimensionnées on ignorera les tildes sur les variables et le gradient sera noté sans indice.
Stabilité
On superpose à la condition initiale une perturbation d'amplitude faible

La nouvelle solution du système est (U, q) tel que

En tenant compte de |V'| << |V| et donc négligeant
le système portant sur les perturbations s'écrit
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \mathbf {V} '}{\partial t}}+(\mathbf {V} '\cdot \nabla )\mathbf {V} +(\mathbf {V} \cdot \nabla )\mathbf {V} '&\simeq &-\nabla \,p'+{\frac {1}{Re}}\,\nabla ^{2}\mathbf {V} '\\[0.6em]\nabla \cdot \mathbf {V} '&=&0\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcab22ec1b82882817a9e92d16906b0c77bdced)
Le système est
pour tout
tel que 
- asymptotiquement stable s'il est stable et que de plus

Équations de Rayleigh et de Orr-Sommerfeld
Pour ce qui suit on réduit l'étude de stabilité à un milieu plan parallèle tel que
Ainsi que le montre le théorème de Squire, il n'est pas utile de prendre en compte la composante transverse.
L'équation sur les perturbations devient

Équation de Rayleigh
Plaçons nous d'abord dans le cas non visqueux et introduisons le potentiel ψ tel que

On recherche les solutions sous forme d'ondes de pulsation ω et de vecteur d'onde k

Une double transformation de Fourier en x et t permet d'écrire
\Phi &=&{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} y}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f869a0f25e49f67d0c00d9cfb9c7bb7e8f642d)
Ce système se simplifie pour donner l'équation de Rayleigh (on suppose Ψ et u deux fois différentiables au moins)

L'instabilité impose que l'onde ne soit pas amortie et donc que la partie imaginaire de la vitesse de phase c = ω / k soit positive.
Cette équation doit être résolue avec les conditions aux limites représentatives du problème. Par exemple avec des parois en y1 et y2 on a

Le problème est un problème aux valeurs propres admettant des solutions pour des couples (k , ω), solutions de la relation de dispersion f (k , ω) = 0.
Équation de Orr-Sommerfeld
La même analyse que ci-dessus avec le terme visqueux pour un problème de Couette ou de Poiseuille conduit à l'équation

La relation de dispersion est ici f (k , ω , Re) = 0.
Par résolution numérique, on montre qu'un écoulement de Poiseuille est instable pour Re > 5772.22. Au-delà de cette valeur et pour de très faibles perturbations des ondes de Tollmien-Schlichting apparaissent.
Pour un écoulement de Couette, aucune valeur de Re ne satisfait au critère d'instabilité linéaire.
Instabilité non-linéaire
Diagramme d'instabilité (Poiseuille)
Toutefois l'absence d'instabilité linéaire ne garantit pas la stabilité pour une perturbation d'amplitude finie. Par exemple un écoulement de Poiseuille est instable à partir de Re = 2900 pour une amplitude donnée (voir courbe).