Wprowadzenie
Wykonywanie doświadczeń w skali naturalnej jest zazwyczaj kosztowne lub czasochłonne. Dlatego najczęściej wykonuje się modele urządzeń. Wyniki z modeli mogą być przeniesione na układ rzeczywisty tylko w oparciu o teorię podobieństwa zjawisk fizycznych. Teorię tą można stosować tylko do zjawisk tego samego rodzaju opisanych tymi samymi równaniami. Koniecznym warunkiem jest podobieństwo geometryczne.
W analizie zjawisk podobnych można porównywać ze sobą tylko wielkości jednorodne w odpowiadających sobie punktach i chwilach.
W układach geometrycznie podobnych mamy następujące proporcje (znak ‘ (apostrof) to oznaczenie dla wielkości zmierzonej na modelu, brak apostrofu to wielkość zmierzona dla układu rzeczywistego):
gdzie: l to odległość, A to pole, V to objętość, t to czas, a φ to dowolna wielkość fizyczna, α to stała podobieństwa.
Możemy (przykładowo) podobnie napisać trzy grupy (od lewej) kinematyczną, dynamiczną i cieplną:
gdzie: v to prędkość, g to przyspieszenie ziemskie, ρ to gęstość, μ to lepkość kinematyczna, F siła, T temperatura, λ wsp. przewodzenia ciepła, Cw to ciepło właściwe.
Dla zjawisk złożonych stałe podobieństwa α nie mogą być wybierane w dowolny sposób, a są ze sobą powiązane, np.:
zatem tylko dwie wielkości (z trzech:
) są niezależne (tzn. wartość jednej zawsze zdeterminowana jest przez wartości dwóch pozostałych). Z powyższego wynika również, że dla układu rzeczywistego i modelowego zachodzi:
gdzie: idem oznacza wartość identyczną w układzie rzeczywistym i modelu.
To oznacza, że w układach podobnych (jak powyżej w rzeczywistym i modelowym) istnieją pewne wielkości które zachowują tą samą wartość (np. powyżej: tv/l). Wielkości te są bezwymiarowe (przykładowo dla
jednostka „skraca się” tj.:
) i noszą nazwę Liczb Podobieństwa. Zazwyczaj są one nazywane od dwóch pierwszych liter nazwisk zasłużonych naukowców pracujących w danej dziedzinie nauki.
Przykład na wyprowadzenie liczb S, Fr, Eu, Re oraz Ga, Ar, Gr
Zakładamy, że mamy dwa podobne do siebie układy (rzeczywisty i jego model), w których ruch nieściśliwego płynu lepkiego jest zapisany za pomocą równań Naviera-Stokesa i ciągłości:
Układ rzeczywisty
|
|
Układ modelowy
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
definicja operatorów (dla kart. ukł. wsp.):
|
|
definicja operatorów (dla kart. ukł. wsp.):
|
|
|
|
|
|
|
gdzie:
czyli jest to pochodna cząstkowa po czasie (podobny zapis dotyczy pochodnych po zmiennych przestrzennych x,y,z np.
),
to wektor prędkości, g to wektor przyspieszenia,
to gęstość,
to współczynnik lepkości kinematycznej, p to ciśnienie.
Stałe podobieństwa
zdefiniowane zostały tak (wymnożono je od razu przez wartości z układu rzeczywistego co przyda się przy dalszym podstawianiu):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Podstawmy zależności z powyższej tabeli to do równań układu modelowego - przykładowo podstawienie dla członu z pochodną po czasie daje:
Robiąc to dla pozostałych członów równań Naviera-Stokesa otrzymamy:
i dla równania ciągłości:
Z podobieństwa obydwu zjawisk wynika, że równanie rzeczywiste i modelowe po podstawieniu zmiennych rzeczywistych, powinny być identyczne. Jest to możliwe w sytuacji, gdy jedno z nich zostało pomnożone przez skalar. Zatem współczynniki zawierające stałe podobieństwa, przy poszczególnych wyrazach równań Naviera-Stokesa, muszą dawać wartość właśnie tego skalaru, muszą być sobie równe tj.:
Porównując je wybranymi parami, stosując celowe przekształcenia, otrzymamy:
Para
|
Zależność
|
idem
|
Nazwa
|
|
|
|
Liczba Strouhala
|
|
|
|
Liczba Frouda
|
|
|
|
Liczba Eulera
|
|
|
|
Liczba Reynoldsa
|
Liczbę Eulera można zapisać inaczej zastępując
przez
.
Warunek podobieństwa nieustalonych przepływów płynu lepkiego nieściśliwego w obu układach wymaga aby liczby podobieństwa Sh, Fr, Eu i Re miały jedne i te same wartości w odpowiadających sobie punktach układu.
Czasami wygodnie jest zmienić postać liczb podobieństwa – np. przy analizie ruchu wywołanego przez różnice gęstości poszczególnych elementów lepiej użyć liczby Galileusza:
gdzie
to współczynnik lepkości kinematycznej.
Liczbę Archimedesa można otrzymać przez:
gdzie
to gęstości w dwóch punktach.
Jeżeli różnicę gęstości wyrazimy jako iloczyn współczynnika ekspansji termicznej i różnicy temperatur tj.:
to otrzymamy liczbę Grashofa:
Przykład wyprowadzenia liczb S, Fo, Pe, Nu, Pr, Ra
Weźmy równanie energii (Fouriera-Kirhoffa) oraz równanie stanowiące jego warunek brzegowy (czyli zestawienie równań przenikania i przewodzenia ciepła) dla układu rzeczywistego i modelu:
Układ rzeczywisty
|
Układ modelowy
|
|
|
|
|
|
|
definicja operatorów (dla kart. ukł. wsp.):
|
definicja operatorów (dla kart. ukł. wsp.):
|
|
|
|
|
gdzie: T to temperatura, Tw to temperatura ścianki, Tf to temperatura płynu w nieskończoności,
to wsp. przenikania ciepła,
to wsp. dyfuzji ciepła,
to wsp. przewodności cieplnej.
Stałe podobieństwa
zdefiniowane zostały tak (wymnożono je od razu przez wartości z układu rzeczywistego, co przyda się przy dalszym podstawianiu):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Podstawiając zależności z powyższej tabeli to do równań układu modelowego otrzymujemy:
oraz
Porównując je wybranymi parami, stosując celowe przekształcenia, otrzymamy:
Para
|
Zależność
|
idem
|
Nazwa
|
|
|
|
Liczba Strouhala
|
|
|
|
Liczba Fouriera
|
|
|
|
Liczba Pecleta
|
|
|
|
Liczba Nusselta
|
Liczba Prandtla dana jest jako:
Liczba Rayleigha jest dana jako:
Najczęściej stosowane liczby podobieństwa
- liczba Abbego
- liczba Archimedesa
- liczba Arrheniusa
- liczba Biota
- liczba Bonda
- liczba Cauchy’ego
- Liczba Couranta
- Liczba Damköhlera
- liczba Debory
- liczba Eulera
- liczba Fouriera
- liczba Froude’a
- liczba Galileusza
- liczba Grashofa
- liczba Hatty
- liczba Karlovitza
- liczba Keulegana-Carpentera
- liczba Knudsena
- liczba Lewisa
- liczba Macha
- liczba Nusselta
- liczba Pécleta
- liczba Prandtla
- liczba Rayleigha
- liczba Reynoldsa
- liczba Rossbiego
- Liczba Schmidta
- liczba Sherwooda
- liczba Stokesa
- liczba Strouhala
- liczba Webera
Bibliografia
- Donald Fenna: Jednostki miar Leksykon. Warszawa: Świat Książki, 2004. ISBN 83-7391-320-3.