Графік темного солітону

Соліто́н — структурно стійка усамітнена (відокремлена) хвиля, що розповсюджується в нелінійному середовищі.

Солітони поводяться подібно до частинок (тому їх можна називати частинкоподібними хвилями): при взаємодії один з одним або з деякими іншими збудженнями вони не руйнуються, а рухаються, зберігаючи свою структуру незмінною. Солітони описуються нелінійними диференціальними рівняннями в частинних похідних (для неперевних середовищ) або системами нелінійних звичайних диференціальних рівнянь (для дискретних середовищ).

Історія відкриття

Історія вивчення солітона почалася в серпні 1834 року, на березі каналу Юніон поблизу Единбургу. Джон Скотт Расселл спостерігав на поверхні води явище, яке називав «усамітненою (відокремленою) хвилею», — англ. solitary wave.

Вперше слово «солітон» вжили для опису нелінійних хвиль, що взаємодіють як частинки. Солітон трохи не став «солітроном», але йому пощастило — в ті часи існувала фірма з аналогічною назвою, і однією літерою довелося поступитися.

Формальне визначення

Найбільш загальноприйнятим вважають визначення, наведене Дразіним та Джонсоном в їхній книжці Згідно з цим визначенням солітоном називають хвильове збудження в нелінійному середовищі, яке задовольняє наступним трьом вимогам:

  • воно розповсюджується з постійною швидкістю, не змінюючи при цьому своєї форми;
  • воно локалізоване у просторі;
  • воно не змінюється після зіткнення з іншим таким же збудженням (окрім можливого зсуву фаз).

У реальних фізичних системах часто використовують слабше визначення, у якому однієї або кількох перелічених умов або не дотримуються взагалі, або дотримуються в межах певного наближення.

Солітони в різних фізичних системах

Солітони експериментально спостерігаються в низці фізичних систем:

  • На поверхнях рідин солітони утворюються у вигляді локалізованих горбів, що розповсюджуються на далекі відстані. Це перші солітони, виявлені в природі. Іноді солітонами вважають гігантські хвилі, що утворюються на поверхні океанів після землетрусів та вивержень вулканів — цунамі.
  • Іонозвукові та магнітозвукові солітони в плазмі.
  • Гравітаційні солітони в шаруватій рідині.
  • Солітони у вигляді коротких світлових імпульсів в активному середовищі лазера.
  • Солітони можуть утворюватися в довгих контактах Джозефсона або в масивах точкових контактів Джозефсона. Вони мають фізичний зміст кванту магнітного потоку і називаються джозефсонівськими вихорами або флуксонами. Солітони в джозефсонівських контактах описуються рівнянням синус-Гордона.
  • У магнетиках можуть утворюватися солітони різного типу, зокрема доменні стінки мають властивості солітонів.
  • В оптичних хвилеводах, в яких присутня нелінійна залежність показника заломлення від електичного поля (завдяки так званому ефекту Керра) утворюються оптичні солітони.
  • У бозе — ейнштейнівських конденсатах холодних атомних газів спостерігалися солітони, що мають фізичний зміст рухливих областей підвищеної густини атомів.
  • Існує ще багато систем, в яких можуть існувати солітони, або збудження, близькі до них за своїми властивостями. Імовірно, прикладом солітона є Гігантський гексагон на Сатурні.
  • У певному наближенні можна розглядати як солітони нервові імпульси.

Математичні основи теорії солітонів

Існує декілька математичних моделей, для яких солітони є точним розв'язком: рівняння Кортевега-де Вріза, нелінійне рівняння Шредінгера, рівняння синус-Гордона, рівняння Кадомцева-Петвіашвілі, ізотропне рівняння Ландау-Ліфшиця, ланцюжок Тоди. Основним математичним методом, який дозволяє явно побудувати солітонні розв'язки, є метод оберненої задачі розсіювання. Існують також інші методи: метод Хіроти, перетворення Беклунда та ін.

Рівняння Кортевега—де Фріза

Докладніше: Рівняння Кортевега—де Фріза

Однією з найпростіших і найвідоміших моделей, що припускають існування солітонів у розв'язку, є рівняння Кортевега—де Фріза:

Одним з можливих рішень цього рівняння є усамітнена хвиля, названа солітоном:

де A — амплітуда солітону, L — ефективна ширина його основи. Такий солітон рухається зі швидкістю .

1965 року Забуський і Краскал виявили, що цей розв'язок являє собою усамітнену хвилю, та має властивість, яка не була відома раніше, а саме: вона «пружно» взаємодіє з іншою такою хвилею. Вони назвали такі хвилі солітонами.

Видно, що солітони з великою амплітудою виявляються вужчими і рухаються швидше, і взаємодія двох окремих солітонів подібна до зіткнення частинок. Солітон-1 з більшою енергією наздоганяє повільніший солітон-2, але не переганяє його — між ними відбувається складна нелінійна взаємодія, в результаті якої швидший солітон-1 «передає» свою енергію повільнішому солітону-2. Відтак солітон-2 починає рухатися швидше, а солітон-1 уповільнюється до початкової швидкості солітона-2. Хвилі-солітони таким чином відтворюють картину взаємодії двох частинок чи куль, одна з яких наздоганяє повільнішу і пружно передає їй свою енергію під час зіткнення.

Кубічне нелінійне рівняння Шредінгера

Для нелінійного рівняння Шредінгера:

при значенні параметра допустимі відокремлені хвилі у вигляді:

де  — деякі постійні.

Класифікація солітонів

Перші три з вищенаведених рівнянь ( Кортевега-де Вріза, синус-Гордона та нелінійне рівняння Шредінгера) є найвідомішими рівняннями теорії солітонів. Розв'язки цих рівнянь утворюють три основних типи солітонів:

  • Солітони Кортевега-де Вріза (акустичні солітони).
  • Солітони огинаючої.
  • Топологічні солітони (кінки та антикінки).

Література

  • Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М. : Мир, 1987. — 480 с.
  • Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны. — М. : Мир, 1983. — 408 с.
  • Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М. : Мир, 1988. — 696 с.
  • Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. — М. : Наука, 1980. — 320 с.
  • Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М. : Физматлит, 2006. — 480 с.
  • Лонгрен К., Скотт Э. Солитоны в действии. — М. : Мир, 1981. — 312 с.
  • Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М. : Мир, 1983. — 294 с.
  • Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М. : Мир, 1989. — 328 с.
  • Скотт Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур. — М. : Физматлит, 2007. — 560 с.
  • Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М. : Мир, 1977. — 624 с.

У цій статті використовується матеріал з статті Вікіпедії Солітон, який випущений під Creative Commons Attribution-Share-Alike License 3.0.