רקע: פונקציית זרם ופוטנציאל מהירות
פונקציית הזרם
היא דרך לתאר את התפלגות הספיקה הנפחית של זרימה במרחב. למשל, במקרה הדו-ממדי, הפרש הערכים שלה בין שני קצוות של עקום מבטא את הספיקה הכוללת של הזרימה דרך העקום הזה. יש להבהיר שפונקציית זרם יכולה להיות מוגדרת היטב רק במקרה של זרימה נטולת מקורות או בורות, בדיוק כשם שפונקציית פוטנציאל מהירות מוגדרת היטב רק לזרימה ללא ערבוליות. אחרת, ניתן לבנות מסלול סגור (או משטח סגור במקרה התלת-ממדי), ולקבל שכאשר הולכים לאורכו עד שחוזרים לנקודת ההתחלה ערך פונקציית הזרם משתנה - כלומר היא אינה מקבלת ערך יחיד בנקודה (פונקציה רב-ערכית). לפונקציית הזרם יש התנהגות הפוכה לזה של פוטנציאל המהירות
; בכיוון המרחבי בו פוטנציאל המהירות משתנה בצורה המרבית פונקציית הזרם אינה משתנה כלל, בעוד בכיוון בו פונקציית הזרם משתנה בצורה המרבית פוטנציאל המהירות אינו משתנה כלל. בשפה מתמטית:
, כלומר המכפלה הסקלרית של גרדיאנט פונקציית הזרם בגרדיאנט פוטנציאל המהירות היא אפס (שני הווקטורים ניצבים זה לזה). אינטואיטיבית, התמונה נראית כך: פוטנציאל המהירות משתנה בצורה המרבית כאשר הולכים לאורך קו הזרם, בעוד פונקציית הזרם משתנה בצורה המרבית כאשר הולכים בניצב לקו הזרם (כלומר היא "סופרת" את קווי הזרימה). לכן, קווים הניצבים לקווי הזרם נקראים גם קווים "שווי פוטנציאל" (פוטנציאל המהירות).
הפונקציה בקואורדינטות כדוריות
נקודה המצוינת באמצעות שימוש בקואורדינטות כדוריות.
בקואורדינטות כדוריות ( r , θ , φ ), המרחק הרדיאלי מהראשית הוא r, הזווית θ היא זווית הזנית ו- φ היא הזווית האזימוטלית. בזרימה עם סימטריה גלילית, בה θ = 0 הוא ציר הסימטריה הסיבובית, הגדלים שמתארים את הזרימה הם בלתי תלויים באזימוט φ. מכיוון שאלמנט נפח בקואורדינטות כדוריות מקיים:
.
כיוון שפונקציית זרם מוגדרת כך שהפרש ערכיה בין שתי נקודות (או עקומות סגורות במקרה התלת-ממדי) שווה לספיקה העוברת דרך קו המחבר ביניהן, ניתן לקבל לפי הגדרת פונקציית הזרימה ש-:
.
השטף הנפחי דרך שפופרת זרם התחומה על ידי משטח שעליו ערך הפונקציה ψ קבוע, הוא 2π ψ.
דיברגנץ אפס
הדיברגנץ של שדה הזרימה בכל נקודה במרחב, לפי הנחת אי-הדחיסות של הזורם, הוא:
.
הערבוליות
הערבוליות מוגדרת כ-:
, כאשר 
ו-
הוא וקטור יחידה בכיוון
(הכיוון האזימוטלי).
גזירה של הערבוליות באמצעות פונקציית הזרימה של סטוקס
|
בהינתן ההגדרה של הערבוליות:

מהגדרת הרוטור בקואורדינטות כדוריות נקבל:

ראשית שים לב שרכיבי העירבוליות בצירים ו- שווים לאפס. שנית, נציב את הביטויים ל- ו- בביטוי ל- . התוצאה היא:

לאחר מכן, התהליך האלגברי הבא מניב:

|
כתוצאה, החישוב של וקטור הערבוליות נותן:
כאשר האופרטור E המוגדר כ-:
הוא אופרטור חשוב בחישוב פילוג הלחץ על כדור (פילוג מאמצי הלחיצה) וכוחות הצמיגות (פילוג מאמצי הגזירה) שהזורם מפעיל על השכבה הצמודה לכדור, ולפיכך שימוש בו הוא שלב קריטי בגזירת חוק סטוקס:
.