Производная Лагранжа, также известная как субстанциональная производная или материальная производная, — это производная, взятая в зависимости от системы координат, движущейся со скоростью u и часто используемая в гидроаэромеханике и классической механике. Она определена как от скалярной функции
координат и времени, так и от векторной
:


где
— это оператор набла, а
обозначает частную производную по t. Второе слагаемое есть конвективная производная данной функции.
Верно следующее тождество, когда берётся производная Лагранжа от интеграла:

Доказательство
Доказательство через правило дифференцирования сложных функций для частных производных. В тензорной нотации (с соглашением суммирования Эйнштейна), можно записать:
![\left[{\frac {d{\mathbf {B}}}{dt}}\right]_{j}={\frac {d}{dt}}{\hat {B_{j}}}(t,x_{i}(t))={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial x_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}B_{j}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+\left[({\mathbf {u}}\cdot \nabla ){\mathbf {B}}\right]_{j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085f5dfd4eb9c15076309ff5ba6027035850c6d3)