Définition
Représentation schématique du modèle de Maxwell.
Le modèle de Maxwell est représenté par un amortisseur purement visqueux et un ressort hookéen mis en série comme l'indique le schéma ci-contre. Dans cette configuration, lorsqu'une contrainte axiale est appliquée, la contrainte totale
et la déformation totale
sont définies de la manière suivante :


où l'indice A désigne l'amortisseur et l'indice R le ressort.
Les contraintes de l'amortisseur et du ressort sont données respectivement par :


où
est le module élastique associé au ressort et
le coefficient de viscosité associé à l'amortisseur représentant un fluide newtonien.
Dérivons la déformation totale par rapport au temps :

En notant la dérivée temporelle par un point, l'équation précédente se réécrit :
.
En multipliant cette équation par
,

on a fait apparaître le temps de relaxation de Maxwell :
.
La solution générale de l'équation de Maxwell s'écrit :
.
Le module de relaxation de la contrainte dans le cadre de ce modèle s'écrit :
avec
On peut remarquer que
est l'équation d'un cercle. Ainsi, la représentation de
en fonction de
, dite représentation de Cole-Cole, est un demi cercle.
Remarque : la mise en parallèle d'un ressort et d'un amortisseur donne le modèle de Kelvin-Voigt.
Modèle de Maxwell généralisé
Le modèle de Maxwell généralisé consiste à mettre en parallèle un nombre N fini d'éléments de Maxwell. Chacun de ces éléments répond aux relations énoncées ci-dessus. La contrainte totale est la somme des contraintes de chaque élément :
.
Dans ce cas, le fluide ne comporte pas qu'un seul temps de relaxation, mais une collection
.
Cette équation peut se réécrire de la manière suivante :
où on a défini le module de relaxation des contraintes de cisaillement :
.