Задачи тысячелетия |
---|
Равенство классов P и NP |
Гипотеза Ходжа |
Гипотеза Пуанкаре (решена) |
Гипотеза Римана |
Решение уравнений квантовой теории Янга — Миллса |
Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса |
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера |
Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.
Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.
В математике это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любой размерности. В физике это система уравнений, которая в рамках механики сплошных сред описывает движение жидкостей или неразреженных газов.
Пусть — трёхмерный вектор скорости жидкости, — давление. Тогда уравнения Навье — Стокса записываются так:
где — это кинематическая вязкость, — плотность, — внешняя сила, — оператор набла и — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как или . Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы, как
то для каждого значения получается соответствующее скалярное уравнение:
Неизвестными величинами являются скорость и давление . Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:
Начальные условия к уравнениям Навье—Стокса задаются в виде
где — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности
Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.
Пусть начальная скорость — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса и любого , существует постоянная (зависящая только от и K), такая, что
Пусть внешняя сила — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):
Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при . Требуется выполнение следующих условий:
Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.
(A) Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в . Положим . Для любого начального условия , удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости и поле давления , удовлетворяющее условиям 1 и 2.
(B) Несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в . Существует такое начальное условие и внешняя сила , такие, что не существует решений and удовлетворяющих условиям 1 и 2.
10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждал, что дал полное решение проблемы, проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям. В 2014 году была найдена серьезная ошибка в доказательстве, которую признал автор.
В апреле 2016 года математик Шокир Довлатов из Каршинского государственного университета сообщил о решении шестой проблемы тысячелетия, которое опубликовал в arXiv.org.