Математическая модель
Уравнение Кортевега — де Фриза
Распад синусоидальной волны на солитоны, наблюдавшийся Забуски и Крускалом при численном решении
уравнения КдФ
Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

где
— амплитуда солитона,
— фаза. Эффективная ширина основания солитона равна
. Такой солитон движется со скоростью
. Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее.
В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при
решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

где матрица
даётся выражением

Здесь
и
— произвольные вещественные постоянные.
Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

с потенциалом
, убывающим на бесконечности быстрее чем
, коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени
.
Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при
решение имеет асимптотический вид
солитонов, тогда при
оно также имеет вид
солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы
-го солитона равен

Пусть
-й солитон движется быстрее, чем
-й, тогда


то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину
, а фаза более медленного — уменьшается на
, причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.
Нелинейное уравнение Шрёдингера
Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

при значении параметра
допустимы уединённые волны в виде:

где
— некоторые постоянные, связанные соотношениями:


Дромион — решение уравнения Дэви-Стюартсона.
Литература
- Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
- Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 696 с.
- Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
- Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
- Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
- Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. — 328 с.
- Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки. — М.: Физматлит, 2003. — 304 с. — ISBN 5-9221-0344-X.
- Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: URSS, 2004. — 424 с.
- Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.
- Филиппов А. Т. Многоликий солитон // Библиотечка «Квант». — Изд. 2, перераб. и доп.. — М.: Наука, 1990. — 288 с.
- Барьяхтар В. Г., Захаров В. Е., Черноусенко В. М. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. — Киев: Наукова думка, 1990. — 472 с. — 1000 экз. — ISBN 5-12-001120-9.