Definizione
Tramite teoria degli operatori pseudo-differenziali
La proiezione di Leray
di un campo vettoriale
(in any dimension
) è definita come

nel senso degli operatori pseudo-differenziali : il suo moltiplicatore di Fourier (a valori matriciali)
è dato da

Qui
è il delta di Kronecker. Formalmente, significa che per ogni
si ha

dove
è lo spazio di Schwartz e le somme sono espresse in notazione di Einstein.
Tramite decomposizione di Helmholz–Leray
Un campo vettoriale
può essere decomposto come

A differenza della decomposizione di Helholtz, la decomposzione di Helmholtz-Leray di
è unica (a meno di una costante additiva per
). Quindi
può essere definita come

Proprietà
La proiezione di Leray soddisfa le seguenti proprietà notevoli:
- È una proiezione:
per ogni
.
- È un operatore solenoidale:
per ogni
.
- È l'identità per i campi solenoidali:
per ogni
tale che
.
- Si annulla sui campi vettoriali relativi a un potenziale scalare:
per ogni
.
Applicatione alle equazioni di Navier-Stokes
Le equazioni di Navier-Stokes per fluidi incomprimibili sono


dove
è la velocità del fluido,
la pressione,
la viscosità e
la forza di volume esterna.
Applicando la proiezione di Leray alla prima equazione e usandone le proprietà, si ottiene

dove

è l'operatore di Stokes e la forma bilineare
è definita come
![{\displaystyle \mathbb {B} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbb {P} [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a341af62d38fd810958b5359fdbd5e0c5da7d6e)
Per semplicità si può assumere in generale che
sia solenoidale, quindi
; questo può essere sempre imposto, aggiungendo alla pressione il termine
.
Bibliografia
- Roger Temam, Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, AMS Chelsea Publishing, 2001, ISBN 0-8218-2737-5.
- Constantin, Peter and Foias, Ciprian. Navier–Stokes Equations, University of Chicago Press, (1988)
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