Lausekkeen johtaminen
Olkoon nopeusvektorikenttä paikan ja ajan funktio siten, että
. Olkoon lisäksi
paikasta ja ajasta riippuva derivoituva funktio. Derivoidaan
ajan suhteen käyttäen ketjusääntöä:
Toisaalta nopeusvektorin komponentit ovat
,
ja
. Sijoitetaan tämä tieto edelliseen yhtälöön:
Lisäksi
Näin ollen voidaan kirjoittaa
Esimerkkejä
Olkoon koko avaruudessa kaikilla ajanhetkillä määritellyn virtauksen nopeusvektorikenttä
. Selvitetään virtauksen mukana kulkevan partikkelin kokema kiihtyvyys.
Kiihtyvyys on partikkelin nopeuden derivaatta ajan suhteen. Hyödynnetään materiaaliderivaattaa:
Lasketaan ensin derivaatat erikseen:
Yhdistetään tulokset ja kirjoitetaan kiihtyvyysvektori:
Lähteet
- ↑ White, Frank M.: Fluid Mechanics, Seventh Edition in SI Units, s. 236. McGraw-Hill, 2011. ISBN 978-007-131121-2. (englanniksi)
- ↑ White, s. 237