概要
物質点に付随する物理量θの変形形状κt における総量は、以下に示す体積積分で求められる:

ここで、θ(x , t ) は、時刻t における注目する物質点x の物質量である。θは、スカラー値、ベクトル値、テンソル値のどれであっても以後の議論は成立する。
今、上記に示した総量の時間変化率を考える。これは、 物質時間導関数 (物質時間微分)D/Dt を用いて次のように表される:

上の式では被積分関数であるθ(x, t )に加えて、積分領域κt も時間とともに変化する。そのため、単純に積分と微分の順番を変えることができない。しかし、物質点の速度v を用いてκt の変形も考慮すれば、微分を積分の中に入れることができる。それを表すのがレイノルズの輸送定理である。
導出
基準形状(変形なし形状)κ0 における座標X と写像χによって、変形形状における座標x を表す。

上記の変換に伴って、積分領域を変形形状κt から基準形状(変形なし形状)κ0 に、積分変数をdv からdV に変換する。

ここで、基準形状(変形なし形状)κ0 における微小体積dV と、変形形状κt における微小体積dv には 体積変化率 J を用いて次の関係が成り立つことを利用した。

新しい積分領域である基準形状(変形なし形状)κ0 は時間に無関係な一定の領域となるので、 体積変化率 J が時間によって変化することに注意すると、微分を積分の中に入れることができ、次のように変形できる。

この式は

であることを利用すると、次のように整理される:

今度は、逆の変換に伴って、積分領域を基準形状(変形なし形状)κ0 から変形形状κt に、積分変数をdV からdv に変換する。

結局、元の式と比較すると次の関係が成り立つ。

例
連続の方程式は、物理量として密度ρを輸送定理に代入して導かれる。
詳細は「連続の方程式#輸送定理による導出」を参照