L'équation de Navier-Stokes
On rappelle la forme de l'équation de Navier-Stokes dans le cas des fluides incompressibles :

avec les notations

Cette équation s'écrit sous une forme plus compacte :

où
représente la ième composante du champ de vitesses instantanées à l'instant t aux coordonnées
dans le fluide,
et
représentent respectivement les dérivations partielles par rapport au temps et par rapport à la ième coordonnée spatiale,
représente la densité du fluide, ici constante d'après l'hypothèse d'incompressibilité et
le tenseur des contraintes défini par ses composantes :

où
est le symbole de Kronecker, qui vaut 1 si i = j et 0 sinon.
g est la densité volumique de la force extérieure appliquée.
Décomposition de Reynolds
L'utilisation de la décomposition de Reynolds se justifie lorsqu'on a affaire à un phénomène présentant un spectre séparé en deux parties nettement distinctes : une bande de basses fréquences ou de régime quasi-permanent, de contribution moyenne sinon constante, du moins variant peu au cours du temps, nettement séparée d'une bande de régimes transitoires de haute fréquence et de contribution moyenne nulle. Ainsi :

où la barre au-dessus du u signale la moyenne statistique, l'apostrophe sur le u signale le terme d'écart par rapport à cette moyenne.
Cet artifice permet faire apparaître un problème à variation spatio-temporelle lente, éventuellement de dimension 2 là où le problème turbulent est à variations rapides et généralement de dimension 3.
Moyenne de Reynolds et équation de Reynolds
La moyenne suit les règles suivantes :





et par définition
.
On introduit la notion de fluctuation pour toutes les variables :
, etc.
En moyennant les équations de Navier-Stokes (ce qui a pour effet de faire disparaitre les termes de fluctuation rapides, qui sont de moyenne nulle), celles-ci deviennent


d'où :


Le même calcul plus général peut être mené avec le tenseur des contraintes
au lieu de la viscosité
. L'équation de Navier-Stokes devient l'équation de Reynolds :
ce qui peut encore s'écrire :
Il reste donc un terme fonction des fluctuations rapides, mais seulement par le truchement de leur variance, c’est-à-dire de la moyenne de leur carré qui en fait donc un terme sinon constant du moins variant peu. Le terme
est appelé tenseur de Reynolds.
Tenseur de Reynolds
- La demi-trace du tenseur de Reynolds s'identifie de façon évidente avec la densité de l'énergie cinétique turbulente moyenne.
- La partie non diagonale du tenseur de Reynolds peut être interprétée comme un terme de viscosité supplémentaire s'appliquant à l'écoulement moyen en s'ajoutant à la viscosité cinématique ν et baptisée viscosité turbulente.
- Le tenseur de Reynolds obéit à une équation de transport, qui fait apparaître elle-même un terme de corrélations triples

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