Définition
On considère un système de lois de conservation (ici pour simplifier en dimension un) :

où
est l'inconnue et
est donnée. On ajoute à ce système une condition initiale :

où
est donnée.
Si la fonction g est constante par morceaux, c'est-à-dire qu'il existe
, ainsi que
tels que

alors on dit que le système d'équations ci-dessus avec g pour condition initiale est un problème de Riemann.
Cas de la dynamique linéaire
Le cas de la dynamique linéaire est particulier au sens où le problème est résoluble directement à l'aide de la méthode des caractéristiques.
Par exemple, pour une loi de conservation linéaire

où
est l'inconnue scalaire et
un paramètre, alors la solution est une propagation de la condition initiale
à la vitesse c, sans déformation :

La situation est similaire pour un système de lois de conservation linéaires hyperboliques

où
est l'inconnue et A une matrice diagonalisable à valeurs propres réelles. Nous donnons un exemple simple inspiré de la dynamique des gaz (en) :

avec une condition initiale constituée de deux états :

Le système précédent peut se réécrire sous forme conservative
avec:

Les valeurs propres du système sont ses caractéristiques :
. Les vecteurs propres sont

L'état gauche
se décompose sur la base des vecteurs propres par

où les coefficients
et
se calculent par identification :

L'état droite
se décompose de façon similaire

avec les coefficients

Le système peut ainsi se réécrire comme deux équations découplées scalaires telles que traitées précédemment, la première avec vitesse de propagation c= - a et condition initiale
, et la seconde avec vitesse de propagation c=a et condition initiale
.
Ainsi, nous obtenons la solution finale

où la solution dans le domaine compris entre les caractéristiques est définie par

Cet exemple permet de comprendre les propriétés basiques du problème de Riemann, et en particulier la décomposition de la solution en différents domaines de l'espace-temps déterminés par les caractéristiques.
Exemple de dynamique non-linéaire
On considère ici qu'on a affaire avec une équation scalaire et non un système (ici m=1), ce qui permet d'assurer une théorie d'existence et d'unicité de solutions faibles non régulières (en particulier acceptant des discontinuités) : les solutions entropiques. On considère donc

où
est l'inconnue et
est donnée. On suppose pour simplifier que f est de classe
et uniformément convexe, ce qui garantit la monotonie de la dérivée de f. Par exemple,
correspond à l'équation de Burgers sans viscosité.
Afin d'avoir un problème de Riemann, on considère la condition initiale (ici
)

avec
donnés.
Contrairement au cas linéaire, la méthode des caractéristiques ne permet de définir de manière unique la solution que sur une partie de l'espace-temps
, et il reste à déterminer la solution dans les cas où les caractéristiques liées aux deux valeurs de la condition initiale se croisent, ou au contraire ne remplissent pas tout l'espace-temps.
- Si
, cela correspond au cas où les caractéristiques se croisent. L'unique solution entropique est alors de type choc, donnée par

- où σ est la vitesse de propagation du choc donnée par les relations de Rankine-Hugoniot :

- Si
, cela correspond au cas où les caractéristiques ne remplissent pas tout l'espace-temps. L'unique solution entropique est de type onde de détente, donnée par

- où
, la réciproque de la dérivée de f.
Dans les deux cas, la solution est autosimilaire, c'est-à-dire qu'elle est déterminée uniquement par le rapport
.