Demostración
- Consideremos un sistema en dos instantes de tiempo t y t+δt. Sea α alguna propiedad por unidad de volumen. El sistema puede tener un cambio de volumen y posición como se muestra en la figura:
- La cantidad total de la propiedad α en el sistema en el instante t es:
- Y la cantidad de α en el instante t+
es:
- La derivada material de la cantidad total de α en el sistema se puede expresar:
- Que se obtiene de la definición de derivada:
- En esta ecuación:
- Se representa el integrando fijo con cambio de volumen como se muestra en la figura:
- Y estas dos integrales se pueden reducir a:
- Si consideramos que un elemento dS de la superficie del sistema tiene dos posiciones diferentes en los dos instantes de tiempo considerados t y t+
, el barrido de ésta superficie entre los dos instantes conforma el elemento de volumen dV como se muestra en la figura:
- Si
es el vector normal a la superficie y
representa la velocidad,
será la velocidad normal a la superficie. En el tiempo la superficie se mueve una distancia
normal a la misma. Por lo que:
- La integral se reduce a la integral sobre la superficie:
- Tomando el límite se simplifica a:
- Aplicando el teorema de Gauss esta integral toma la forma:
- Dos términos de la ecuación pueden simplificarse como:
- Con estas simplificaciones toma la forma:
- En notación indical:
El lema de Reynolds
El Lema de Reynolds introducido por el ingeniero irlandés Osborne Reynolds que demuestra que la variación de flujo de una propiedad es igual a la variación de la propiedad dentro del flujo:
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Demostración
Sea A una cierta propiedad genérica (escalar, vectorial o tensorial) de un
medio continuo, y sea ψ(x, t) la cantidad de esta propiedad A por unidad de
masa. Por consiguiente, ρψ(x, t) es la cantidad de la propiedad por unidad de
volumen.
Consideremos un volumen material arbitrario de medio continuo que en el
instante t ocupa en el espacio un volumen V. La cantidad de la propiedad
genérica A en el volumen material V en el instante t será:

Donde ψ es la propiedad a estudiar
La variación a lo largo del tiempo del contenido de la propiedad A en el
volumen material V vendrá dada por la derivada temporal de Q(t) , que
utilizando la expresión de la derivada material de una integral de
volumen será:
![{\displaystyle \ Q'(t)={\frac {d}{dt}}\int _{V_{f}(t)}\rho \Psi \;d\ V=\int _{V_{f}(t)}\left[{\frac {d\rho \psi }{dt}}\ +\rho \psi \nabla \cdot \ v\right]\;d\ V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fab1aabfb72e3c696d27397568980ccf26cbd20)
Utilizando la expresión para la derivada material de un producto de funciones, agrupando términos y utilizando la ecuación de continuidad:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V_{f}(t)}\rho \Psi \;d\ V=\int _{V_{f}(t)}\left[\rho {\frac {d\psi }{dt}}\ +\psi {\frac {d\rho }{dt}}+\rho \psi \nabla \cdot \ v\right]\;d\ V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a540de78c7899719f6e74872650a4593ab1a9d)
![{\displaystyle =\int _{V_{f}(t)}\left[\rho {\frac {d\psi }{dt}}\ +\psi \left[{\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot \ v\right]\right]\;d\ V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a36e096099e3a6fc2830bba60a8b98eca6a600)
Como
por continuidad, se llega a la conclusión de que:
